Integrale di e^x sin x

[TuxDroid]

Ciao a tutti, ho un problema con questo integrale:

\(\displaystyle \int e^x sin(x) dx \) .

Dunque, integro per parti, scegliendo: \(\displaystyle \begin{cases}
f'(x)=e^x \\
g(x)=sin x &
\end{cases} \)

da cui: \(\displaystyle \begin{cases}
f(x)=e^x \\
g'(x)=cos x &
\end{cases} \)

Applicando la formula per l'integrazione per parti ottengo:
\(\displaystyle e^x sin x - \int e^x cos x \ dx \)

Ora dovrei integrare di nuovo per parti \(\displaystyle \int e^x cos x \ dx \), ma così facendo inizio un "ciclo" che non termina più! Come dovrei procedere per terminare correttamente l'integrazione?

[asker993]

ciao, il ciclo lo termini quando giungi ad un integrale tale che sia uguale a quello di partenza, allora non fai altro che portarlo dall'altra parte dell'uguale, lo sommi all'integrale di partenza e poi qualche passaggio algebrico ed hai finito Prova a farlo ora, vedrai che è semplice..se hai problemi chiedi ancora..

[TuxDroid]

Ah ecco dove stava l'inghippo! Ricapitolando:

\(\displaystyle \int e^x sin \ x \ dx = e^x sin x - \int e^x cos x \ dx \)

\(\displaystyle \int e^x cos x \ dx = e^x cos x - \int e^x sin x \ dx \)

sostituendo:

\(\displaystyle \int e^x sin \ x \ dx = e^x sin x - (e^x cos x - \int e^x sin x \ dx ) \)
\(\displaystyle 2 \int e^x sin \ x \ dx = e^x sin x - e^x cos x +c \)
\(\displaystyle \int e^x sin \ x \ dx = \frac{1}{2} e^x (sin x - cos x) +c \)

[asker993]

vabbhè, ti sei perso per strada un segno $-$ derivando il $senx$ e poi il $cosx$..prova a ricontrollare con più calma anche se alla fine il risultato sembra essere corretto non può esserlo

[TuxDroid]

Ricontrollo i calcoli, ero interessato al procedimento per sapere se avevo ben capito il tuo suggerimento. Ti ringrazio!

[asker993]

Comunque si, il procedimento è corretto
ps: ricorda che se scegli $e^x$ come $f'$ e $senx$ come $g$, devi mantenere questo "ordine" anche con i successivi integrali che trovi, altrimenti fai "un salto avanti e torni indietro"!