Integrale di $e^((-x^2)/2)$
Salve!
Qualcuno sa come svolgere $\int e^((-x^2)/2)dx$ ?
Qualcuno sa come svolgere $\int e^((-x^2)/2)dx$ ?
Risposte
"Shaka":
Salve!
Qualcuno sa come svolgere $\int e^((-x^2)/2)dx$ ?
ti rimando a questo topic
https://www.matematicamente.it/forum/int ... tml#303100
Ti ringrazio!
non puoi calcolarlo definito sai solo che se lo calcoli tra -infiito e più infinito fa radice di pigreco
Non puoi calcolarlo indefinito...
"lagrange86":
non puoi calcolarlo definito sai solo che se lo calcoli tra -infiito e più infinito fa radice di pigreco
Veramente è l'integrale di $e^{-x^2}$ che vale $\sqrt{\pi}$. Per questo si ha, ponendo $t=x/\sqrt{2}$
$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\ dx=\sqrt{2}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\ dt=\sqrt{2\pi}$
sisi scusate non puoi calcolarlo indefinito intendevo dire e vale radice di 2 pigreco. Ma come si fanno le formule? Con latek?
"lagrange86":
Ma come si fanno le formule? Con latek?
http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html
"lagrange86":
sisi scusate non puoi calcolarlo indefinito intendevo dire e vale radice di 2 pigreco. Ma come si fanno le formule? Con latek?
per la precisione "LaTex"
www.latex-project.org/
Per il resto vale il consiglio di Gatto89
sisi lo so mi sbaglio sempre lo scrivo come si pronuncia
Per calcolare $\int_0^(+oo) e^(-x^2/2)" d"x$ si usano gli integrali doppi, ad esempio.
Sono trucchetti che vedrai in Analisi II.
Sono trucchetti che vedrai in Analisi II.
Scusate se riesumo un vecchio topic, ma credo che non fosse necessario aprirne un altro data l'attinenza di questo.
Vengo al dunque:
Ho provato a calcolare quest'integrale con i metodi dell'analisi complessa, mi risulta 0 ed ovviamente mi sbaglio, ma volevo chiedervi dove sta l'errore, perchè io non lo trovo.
Questo è il mio ragionamento: (potete saltare la lettura
, ho aggiunto sotto)
Linciatemi pure, però se avete il tempo ditemi dove sbaglio, perché evidentemente c'è qualcosa di base che non ho capito bene e mi conviene tornarci ora.
.....
Mentre scrivevo sono giunto ad una conclusione: i lemmi del cerchio grande, piccolo e di Jordan non sono validi in questo caso, perché non ci sono singolarità nè all'interno nè sul bordo. Dato che nel testo in cui sto studiando non c'è scritto, vi chiedo, questi lemmi sono validi se e solo se c'è almeno una singolarità interna o sul bordo? La funzione integranda può essere di qualunque tipo e la discrimante è solo che abbia una singolarità? Valgono anche per le singolarità essenziali?
Vengo al dunque:
"gugo82":
Per calcolare $\int_0^(+oo) e^(-x^2/2)" d"x$ si usano gli integrali doppi, ad esempio.
Sono trucchetti che vedrai in Analisi II.
Ho provato a calcolare quest'integrale con i metodi dell'analisi complessa, mi risulta 0 ed ovviamente mi sbaglio, ma volevo chiedervi dove sta l'errore, perchè io non lo trovo.
Questo è il mio ragionamento: (potete saltare la lettura
, ho aggiunto sotto).
Linciatemi pure, però se avete il tempo ditemi dove sbaglio, perché evidentemente c'è qualcosa di base che non ho capito bene e mi conviene tornarci ora.
.....
Mentre scrivevo sono giunto ad una conclusione: i lemmi del cerchio grande, piccolo e di Jordan non sono validi in questo caso, perché non ci sono singolarità nè all'interno nè sul bordo. Dato che nel testo in cui sto studiando non c'è scritto, vi chiedo, questi lemmi sono validi se e solo se c'è almeno una singolarità interna o sul bordo? La funzione integranda può essere di qualunque tipo e la discrimante è solo che abbia una singolarità? Valgono anche per le singolarità essenziali?
Si ha:
\[
\begin{split}
z\ \exp (-z^2) \Big|_{z=R\ e^{\imath\ \theta}} &= R \exp \left( \imath\ \theta -(Re^{\imath\ \theta })^2\right)\\
&= R\ \exp \left( \imath\ \theta - R^2\cos 2\theta -\imath\ R^2\sin 2\theta\right)\\
&= R\ \exp (-R^2\cos 2\theta )\ \exp \left( \imath\ (\theta - R^2\sin 2\theta )\right)
\end{split}
\]
quindi se \(z=R\ e^{\imath\ \theta}\) sta sull'asse immaginario, i.e. se \(\theta =\pm \frac{\pi}{2}\), si ha:
\[
|z\ f(z)| = R\ e^{R^2}
\]
e questa roba non converge neanche per idea a zero quando \(R\to \infty\); perciò non è vero che \(\lim_{|z|\to \infty} |z\ f(z)|=0\).
Quindi il lemma del cerchio grande non si applica né nel semipiano superiore né in quello inferiore.
***
Dirò inoltre che per molto tempo l'integrale gaussiano non si è saputo calcolare col metodo dei residui (quindi il calcolo di quell'integrale coi residui non è immediato). Tuttavia, alla fine, il modo si è trovato.
Uno dei primi metodi per il calcolo di \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\ \text{d} x\) con la teoria dei residui è stato trovato negli anni '20, ma era complicato assai.
Poi, nel 1949, G. Polya ha trovato il semplice procedimento che illustro qui sotto.
Il trucco consiste nell'usare la funzione ausiliaria:
\[
f(z) := \frac{\exp (\pi\ \imath\ z^2)}{\sin \pi z}
\]
(che ha residuo \(1/\pi\) in \(0\)) ed integrarla lungo i lati del parallelogramma \(\mathcal{P}(R)\) avente vertici in \(\pm \frac{1}{2}\pm R\ e^{\imath \frac{\pi}{4}}\): in tal modo si stabilisce che:
\[
\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}\ \text{d} t =1
\]
ed il risultato standard segue facendo un cambiamento di variabile.
\[
\begin{split}
z\ \exp (-z^2) \Big|_{z=R\ e^{\imath\ \theta}} &= R \exp \left( \imath\ \theta -(Re^{\imath\ \theta })^2\right)\\
&= R\ \exp \left( \imath\ \theta - R^2\cos 2\theta -\imath\ R^2\sin 2\theta\right)\\
&= R\ \exp (-R^2\cos 2\theta )\ \exp \left( \imath\ (\theta - R^2\sin 2\theta )\right)
\end{split}
\]
quindi se \(z=R\ e^{\imath\ \theta}\) sta sull'asse immaginario, i.e. se \(\theta =\pm \frac{\pi}{2}\), si ha:
\[
|z\ f(z)| = R\ e^{R^2}
\]
e questa roba non converge neanche per idea a zero quando \(R\to \infty\); perciò non è vero che \(\lim_{|z|\to \infty} |z\ f(z)|=0\).
Quindi il lemma del cerchio grande non si applica né nel semipiano superiore né in quello inferiore.
***
Dirò inoltre che per molto tempo l'integrale gaussiano non si è saputo calcolare col metodo dei residui (quindi il calcolo di quell'integrale coi residui non è immediato). Tuttavia, alla fine, il modo si è trovato.
Uno dei primi metodi per il calcolo di \(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\ \text{d} x\) con la teoria dei residui è stato trovato negli anni '20, ma era complicato assai.
Poi, nel 1949, G. Polya ha trovato il semplice procedimento che illustro qui sotto.
Il trucco consiste nell'usare la funzione ausiliaria:
\[
f(z) := \frac{\exp (\pi\ \imath\ z^2)}{\sin \pi z}
\]
(che ha residuo \(1/\pi\) in \(0\)) ed integrarla lungo i lati del parallelogramma \(\mathcal{P}(R)\) avente vertici in \(\pm \frac{1}{2}\pm R\ e^{\imath \frac{\pi}{4}}\): in tal modo si stabilisce che:
\[
\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi t^2}\ \text{d} t =1
\]
ed il risultato standard segue facendo un cambiamento di variabile.
Grazie!Praticamente avevo sbagliato tutte e due le mie supposizioni. Allora i lemmi su citati sono generici, non hanno come condizione una singolarità, giusto? L'utilità di questa condizione pensandoci è quasi nulla, usando il lemma del cerchio grande e non avendo residui, nè singolarità sull'asse reale, potrei dimostrare solo che l'integrale di una data funzione è uguale a zero, ma ormai è per togliermi il dubbio che mi si era creato.
Per il resto ringrazio un'altra volta, sia per avermi mostrato quella soluzione (affascinante) col teorema dei residui, sia per avermi fatto notare l'errore. Devo mettermi nella zucca di stare molto attento con i limiti quando c'è in gioco un esponenziale complesso
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