Integrale di Cauchy

[Pivot1]

Calcolare

int_c di $z/(9-z^2)*(z+i)in dz

dove c è il cammino il cui sostegno coincide con la circonferenza |z| = 2

non riesco, ad applicare la regola dell'integrale di Cauchy. Potreste farmi vedere qualche passaggio?

Grazie ciao

[Kroldar]

La funzione è olomorfa in $CC$ eccetto i punti dell'asse reale $3$ e $-3$... ma questi punti cadono al di fuori del cerchio lungo il cui bordo integri, quindi l'integrale è nullo perché la funzione è olomorfa nel cerchio.

[Pivot1]

eppure il mio libro dice che viene $pi/5$
Ottinene questo valore applicando l'integrale di cauchy, con $z_0 = -i$

Ma io non ho capito come!!!

bo.....

[Sk_Anonymous]

"Pivot":Calcolare $int_c z/(9-z^2)*(z+i) dz$, dove c è il cammino il cui sostegno coincide con la circonferenza |z| = 2

E' solo che la traccia del problema è un poco ambigua: un paio di parentesi in più non sarebbero guastate... Anyway, pare chiaro a questo punto che il problema fosse "calcolare $int_C z/((9-z^2)*(z+i)) dz$, dove C è il cammino il cui sostegno coincide con la circonferenza |z| = 2". Siano perciò $X := \mathbb{C}\setminus\{-i; \pm 3\}$ ed $f: X \mapsto \mathbb{C}: z \mapsto z/((9-z^2)(z+i))$. Allora $f$ è olomorfa in $X$, e per il teorema dei residui $I := \int_C f(z) dz = 2\pi i \cdot \sum_{p} Res[f(z),p]$, ove la sommatoria a secondo membro s'intende estesa a tutti e soli i poli di $f$ interni al dominio piano delimitato dalla circonferenza C. Dunque banalmente $I := 2\pi i \cdot Res[f(z),-i]$. Senonché $Res[f(z),-i] = \lim_{z \to -i} (z+i) f(z) = -i/10$, e perciò $I = \pi/5$.

[Pivot1]

Sei stato gentile a postare tutto il procedimento ma non ci ho capito niete con tutti quei "teg" non è potresci spiegarmelo un po più semplicemente.
anche il risoltato $-i/10$ non l'ho capito.
Ti ringrazio ciao

[Sk_Anonymous]

Riscrivo il tutto senza tag! Siano $X := C - {-i; 3; -3}$ ed $f: X -> C: z -> z/((9-z^2)(z+i))$. Allora $f$ è olomorfa in $X$, e per il teorema dei residui $I := \int_C f(z) dz = 2pi * i * \sum_{p} Res[f(z),p]$, ove la sommatoria a secondo membro s'intende estesa a tutti e soli i poli di $f$ interni al dominio piano delimitato dalla circonferenza C. Dunque banalmente $I := 2pi * i * Res[f(z),-i]$. Senonché $Res[f(z),-i] = \lim_{z \to -i} (z+i) f(z) = \lim_{z \to -i} z/(9-z^2) = -i/10$, e perciò $I = pi/5$. Ci ho aggiunto un passaggio, nel calcolo del limite...

[Pivot1]

ok grazie mille ciao