Integrale di cauchy

[quee]

Calcolare
$\int_{\gamma }^{ } \frac{1}{z*sen(zi)} $

con $\gamma =({z \in \mathbb{C}:|z-i|=3})$

Io ho fatto :
$\int \frac{\frac{1}{sen(iz)}}{(z-0)}\rightarrow $Integrale di Cauchy $ = \frac{2\pi i}{sen(0)}=\infty $

Ho l'impressione che sia troppo semplicistico..

[dan952]

Nel dominio contenente il cammino $\gamma$ la funzione $\frac{1}{\sin(zi)}$ non è olomorfa quindi non puoi applicare la formula integrale di Cauchy.
Usa il teorema dei residui

[quee]

Ho fatto così :

1) Prendo $\int_{\gamma }^{ } \frac{1}{z*sen(zi)} $

2) Applico $sen(az)= e^{iaz}$ ottenendo $\int \frac{e^{z}}{z}$

3) Calcolo il residuo e ottengo $2\pi i$

[dan952]

Attento che $\Im(e^{iz})=\sin(z)$
Comunque le uniche singolarità interne a $\gamma$ sono $z_1=0$ (polo di secondo ordine), $z_2=\pi$ (polo semplice)

[quee]

Come hai fatto a trovarle ?

[dan952]

Il cammino è la circonferenza di centro $i$ e raggio 3, all'interno c'è 0 e $\pi i$ (nel post di prima ho scritto $\pi$ ho scordato $i$)

[quee]

Perfetto , allora porta anche a me Piano piano riuscirò a dominarla questa analisi complessa

ps: quando calcolo i residui , il $sen(zi)$ lo lascio così come è ?