Integrale di bochner
che cos'è? come si definisce?
Risposte
grazie molte non avevo trovato la wikipedia inglese.
il fatto è che non mi torna il concetto di funzione semplice, potresti farmi un esempio per schiarirmi le idee?
il fatto è che non mi torna il concetto di funzione semplice, potresti farmi un esempio per schiarirmi le idee?
Si chiama funzione semplice un'applicazione $s$ la cui immagine è costituita da un insieme finito di elementi dello spazio "d'arrivo".
Siano $s:X\to BB$ semplice e $b_1,\ldots ,b_n\in B$ i valori (distinti) da essa assunti: se definisci in $X$ la relazione $x~y \quad Leftrightarrow \quad s(x)=s(y)$ riesci a partizionare $X$ in esattamente $n$ insiemi $E_1,\ldots ,E_n$ tali che:
1) $\quad E_i\capE_j=\emptyset$ per $i!=j\in \{1,\ldots ,n\}\quad$;
2) $\quad AA x \in E_i, s(x)=b_i$ per $i in \{1,\ldots ,n\}\quad$;
usando le funzioni caratteristiche degli $E_i$* puoi allora esprimere $s$ come segue:
$s(x)=\sum_(i=1)^n b_i*\chi_(E_i)(x)\quad$,
il che ci porta alla definizione di funzione semplice adoperata nell'articolo.
Ad esempio la funzione:
$s(x):=\{(1, " se " x<0),(2, " se " x=0), (3, " se " x>0):}$
è semplice da $RR$ in sé; posto $E_1=]-oo,0[, E_2=\{0\}, E_3=]0,+oo[$, essa si può scrivere come combinazione lineare di funzioni caratteristiche:
$s(x)=\chi_(E_1)(x)+2*\chi_(E_2)(x)+3*\chi_(E_3)(x)\quad$.
__________
* La funzione caratteristica di $E_i$ è definita ponendo $\chi_(E_i)(x):=\{(1, " se " x \in E_i),(0, " se " x\notin E_i):}$.
Siano $s:X\to BB$ semplice e $b_1,\ldots ,b_n\in B$ i valori (distinti) da essa assunti: se definisci in $X$ la relazione $x~y \quad Leftrightarrow \quad s(x)=s(y)$ riesci a partizionare $X$ in esattamente $n$ insiemi $E_1,\ldots ,E_n$ tali che:
1) $\quad E_i\capE_j=\emptyset$ per $i!=j\in \{1,\ldots ,n\}\quad$;
2) $\quad AA x \in E_i, s(x)=b_i$ per $i in \{1,\ldots ,n\}\quad$;
usando le funzioni caratteristiche degli $E_i$* puoi allora esprimere $s$ come segue:
$s(x)=\sum_(i=1)^n b_i*\chi_(E_i)(x)\quad$,
il che ci porta alla definizione di funzione semplice adoperata nell'articolo.
Ad esempio la funzione:
$s(x):=\{(1, " se " x<0),(2, " se " x=0), (3, " se " x>0):}$
è semplice da $RR$ in sé; posto $E_1=]-oo,0[, E_2=\{0\}, E_3=]0,+oo[$, essa si può scrivere come combinazione lineare di funzioni caratteristiche:
$s(x)=\chi_(E_1)(x)+2*\chi_(E_2)(x)+3*\chi_(E_3)(x)\quad$.
__________
* La funzione caratteristica di $E_i$ è definita ponendo $\chi_(E_i)(x):=\{(1, " se " x \in E_i),(0, " se " x\notin E_i):}$.
è un pò come se definissi una funzione per parti su pezzi di dominio, su insiemi finiti del dominio di definizione, giusto? la funzione di heaviside $H(x)$ è una funzione semplice, quindi...
solo che qui il tutto è generalizzato a funzioni a valori in spazi di banach, uno spazio di banach è anche lo spazio delle funzioni continue e limitate su un intervallo per esempio, quindi è una definizione che si stende ai funzionali.
solo che qui il tutto è generalizzato a funzioni a valori in spazi di banach, uno spazio di banach è anche lo spazio delle funzioni continue e limitate su un intervallo per esempio, quindi è una definizione che si stende ai funzionali.
ah non avevo letto l'aggiunta 
, quindi ok, tutto chiaro.
, quindi ok, tutto chiaro.
"ayeyye":
qui il tutto è generalizzato a funzioni a valori in spazi di banach; uno spazio di banach è anche lo spazio delle funzioni continue e limitate su un intervallo per esempio, quindi è una definizione che si stende ai funzionali.
Infatti non credo ci siano problemi a definire funzionali semplici su $C_B$ sfruttando quanto appena detto; come hai detto tu, la definizione è molto generale.
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