Integrale di $2/(4+9x^2)$

[Dino 921]

Salve.
Dovendo calcolare il seguente integrale:
$ int 2/(4+9x^2) dx $
e ricordando la formula:
$ int 2/(4+9x^2) dx = 1/m arctan(x/m) $
io ho come risultato:
$ int 2/(4+9x^2) dx = 2/2 arctan((3x)/2) = arctan ((3x)/2) $
ma invece mi viene riportato che il risultato corretto è:
$int 2/(4+9x^2) dx = 2/6 arctan((3x)/2) = 1/3 arctan ((3x)/2) $

perchè? non si ha che $m=sqrt(4)=2$?

[Seneca1]

$d/(dx) ( 1/m * arctan(x/m) ) = 1/(m^2 + x^2)$

[Dino 921]

.... cioè? aiutare con qualche parola non può che far bene. se volessi una fredda stringa, andrei su Wolfram...

[Seneca1]

Cioè a quel punto puoi applicare quella formula nella seguente maniera (raccogliendo $1/9$):

$\int 2/9 * 1/(4/9 + x^2) dx = 2/9 * 3/2 arctan( 3/2 x )$ ove $m = 2/3$.

[Dino 921]

e se non raccogliessi $1/9$ il risultato non dovrebbe essere lo stesso? o il coefficiente di $x$ deve essere per forza unitario?

[Seneca1]

Deve essere $1$. Questo integrale si risolve subito operando un cambio di variabile (senza doversi ricordare formule di quel tipo, con il rischio di applicarle male)...

[Dino 921]

l integrale che ho scritto è già frutto di una sostituzione.. Vedendo l'integrazione immediata ho preferito adoperare quest ultima piuttosto che un ulteriore cambio di variabile, che avrebbe complicato un po le cose. Comunque ti ringrazio

[lordb]

Nel caso ti servisse ti scrivo il procedimento "standard":

$\int 2/(4+9x^2)dx=\int 2/(4*(1+9/4x^2))dx=1/2\int 1/(1+(3/2x)^2)dx=1/2*2/3\int 1/(1+(3/2x)^2)3/2dx$

$=1/3\int 1/(1+(3/2x)^2)3/2dx$

sia $f:RR->RR,y->1/(1+y^2)$, sia $phi:RR->RR,s->3/2s$

allora si ha che una primitiva di $f$ è $F:RR->RR,y->arctan(y)$.

si ottiene l'integrale tipico $\int f(phi(x))*phi'(x)dx=F(phi(x))+C$

Allora è immediato che $=1/3\int 1/(1+(3/2x)^2)3/2dx = 1/3*arctan(3/2x)+C$

[55sarah]

"Dino 92":
e ricordando la formula:
$ int 2/(4+9x^2) dx = 1/m arctan(x/m) $

la formula in generale scritta più correttamente è questa $\int (1)/(1+((ax+b)/c)^2)dx=c/a arctan((ax+b)/c)+C$

e infatti con la formula giusta viene giusto alla fine, come ha scritto "lordb"

"lordb":

Allora è immediato che $=1/3\int 1/(1+(3/2x)^2)3/2dx = 1/3*arctan(3/2x)+C$