Integrale di \(1-\)forme su curve omotope

[Bianco17]

Buonasera a tutti! Cercavo in rete una dimostrazione del seguente teorema sulle forme differenziali lineari

Teorema Sia $\omega$ una \(1-\)forma chiusa di classe $C^1$ definita su un aperto $\Omega\subseteq\RR^n$. Allora risulta che l'integrale di $\omega$ è invariante per curve $C^1$ a tratti omotope.

Qualche giorno fa ho trovato un ottimo pdf in cui si dava una dimostrazione di questo fatto: sfrutta un paio di lemmi sulle omotopie particolarmente tecnici che ho seguito senza troppi problemi ma nel mentre della dimostrazione del teorema suddetto fa due maggiorazioni che non ho idea di come giustificare. Poiché non ho idea di dove possa trovarsi la chiave per sciogliere questi dubbi, vi riporto integralmente i due lemmi propedeutici e un sunto della dimostrazione fino al punto misterioso.

Lemma 1 Siano $\Omega$ un aperto di $\RR^n$ , $C_0$ e $C_1$ due circuiti $C^1$ a tratti di $\Omega$ e $H : [a, b]×[0, 1] \to\Omega$ una
\(\Omega-\)omotopia da $C_0$ a $C_1$ . Allora, per ogni \(\varepsilon > 0\), esiste una \(\Omega-\)omotopia $H^∗
: [a, b] × [0, 1] \to \Omega$
di classe $C^∞$ tale che \[\|H^*(t,\lambda)-H(t,\lambda)\|\leq\varepsilon,\ \ \forall\,(t,\lambda)\in[a,b]\times[0,1]\\
\int_a^b\|\partial_t H^*(t,\lambda)-\partial_t H(t,\lambda)\|dt\leq\varepsilon,\ \ \text{con }\lambda\in\{0,1\}\]

Lemma 2 Siano $\omega$ una \(1-\)forma chiusa di classe $C^1$ definita su un aperto $\Omega\subseteq\RR^n$ e $H^*:[a,b]\times[0,1]\to\Omega$ una \(\Omega-\)omotopia di classe $C^2$. Detto $\langle\cdot,\cdot\rangle$ il prodotto di dualità di $\RR^n$, la funzione \[I^*:\lambda\in[0,1]\mapsto \int_a^b \langle\omega(H^*(t,\lambda)),\partial_t H^*(t,\lambda)\rangle dt\] risulta costante.

La dimostrazione del teorema poi precede così.

Siano $C_0$ e $C_1$ due circuiti \(\Omega-\)omotopi secondo $H : [a, b] × [0, 1] → Ω$ e poniamo
\[M = \max\{\|H(t, λ)\| : (t, λ) ∈ [a, b] × [0, 1]\} \text{ e } L = \max\{\text{lungh} C_0, \text{lungh} C_1\}\] osservando che M è ben definito in quanto H è continua e il suo dominio è compatto. Fissiamo ora
$ε ∈ (0, 1)$ ad arbitrio e applichiamo il Lemma 1 ottendendo un’omotopia $H^∗
: [a, b]×[0, 1] → Ω$
di classe $C^∞$ che ne verifica la tesi. Per il Lemma 2 abbiamo quindi \(I^*(0)=I^*(1)\) da cui \[\left|\int_{C_0} \omega-\int_{C_1} \omega\right|\leq\left|\int_{C_0}\omega-I^*(0)\right|+\left|\int_{C_1}\omega-I^*(1)\right|.\] Poniamo per comodità $u_λ(t) = H(t, λ)$ e $v_λ(t) = H^∗(t, λ)$ per $t ∈ [a, b]$ e $λ \in \{0, 1\}$: per tali $λ$ abbiamo
\[\int_{C_\lambda} \omega-I^*(\lambda)=\int_a^b\langle\omega(u_\lambda(t))-\omega(v_\lambda(t)),u'_\lambda(t)\rangle dt+\int_a^b\langle\omega(v(t)),u'_\lambda(t)-v'_\lambda(t)\rangle dt.\]

Fin qua è tutto chiaro, in quanto non c'è nulla di più di un'applicazione dei precedenti lemmi: specifico che nei righi seguenti viene adoperata una norma su $(\RR^n)^∗$ definita sul generico funzionale $L=\sum_{i=1}^n a_i dx_i$ come \[|L|=\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}.\]

Ricordando i Lemmi 1-2, si ha che \(\|v_\lambda(t)\|\leq\|u_\lambda(t)\|+\|u_\lambda(t)-v_\lambda(t)\| Il mio dubbio è proprio qui, nell'ultima maggiorazione che fa: non mi spiego come sia vero che \(\sup_{t\in[a,b]}|\omega(u_\lambda(t))-\omega(v_\lambda(t))|\leq\varepsilon\) e \(\sup_{t\in[a,b]}|\omega(v(t))|\leq M+1\). Sulla seconda di queste disuguaglianze credo si possa pure sorvolare in quanto siamo già certi che \(\sup_{t\in[a,b]}|\omega(v(t))|\) sia in realtà un massimo per il Teorema di Weierstrass ma la prima?? Ho provato ho fare ragionamenti sulla lipschitzianità dei coefficienti di $\omega$ essendo di classe $C^1$ ma senza approdare ad alcunché... Mi scuso in anticipo per la lunghezza del post e spero che ciò non vada contro il regolamento, ma mi auguro davvero che sappiate aiutarmi.

[Lebesgue]

Risposta forse scema: non è vero per continuità?

Tu sai dal Lemma 1 che $||u_\lambda (t)-v_\lambda (t)||\le \epsilon$, allora per (uniforme) continuità di $\omega$ (uniforme perchè stai su un compatto) hai la maggiorazione del sup: $\mbox(sup) _(t\in[a,b]) |\omega(u_\lambda (t))-\omega(v_\lambda (t))|\le \epsilon$

Ripeto: magari sto dicendo una cavolata, però io me la spiegherei così

[Bianco17]

Potresti cercare di formalizzare la tua idea? Io avevo anche pensato alla continuità uniforme ma poi trovo impossibile adattare la definizione alla mia maggiorazione sulle "controimmagini" poiché \(\varepsilon\), fissato a priori, stima la distanza tra $u_\lambda(t)$ e $v_\lambda(t)$ e poi ricompare maggiorando le corrispondenti immagini.

[dissonance]

@Bianco: è corretto come dice Lebesgue, che poi è lo stesso di quanto dici tu. Siccome \(\omega\) è Lipschitziana,
\[
\lvert \omega(u_\lambda(t)) - \omega(v_\lambda(t))\rvert\le C\lvert u_\lambda(t)-v_\lambda(t)\rvert.\]
E da qua concludi. Il simbolo di valore assoluto qua indica la norma euclidea di \(\mathbb R^n\) (andrebbe bene qualsiasi norma, ma non entriamo in questo ora).

Forse ti confonde prendere la norma di \(\omega(x)\), per \(x=u_\lambda(t)\) o \(x=v_\lambda(t)\)? Non c'è niente di strano. Quello è un covettore, un elemento di \((\mathbb R^n)^\star\), puoi tranquillamente prenderne la norma euclidea definita nella maniera usuale:
\[
\lvert a_1 dx_1+\ldots+a_n dx_n\rvert^2=\sum_j a_j^2.\]

[Bianco17]

@dissonance, anch'io avevo pensato alla Lipschitzianità ma mi son tirato indietro perché ricordavo che solo la convessità del dominio (associata alla limitatezza del gradiente, qui garantita dall'essere $C^1$ sui compatti \(u_\lambda([a,b])\cup v_\lambda([a,b])\)) potesse garantirmi la Lipschitzianità. Cercando proprio ora in rete ho trovato che l'essere $C^1$ su compatti è sufficiente ad ottenere il medesimo risultato: anche tu affermi che $\omega$ è Lipschitziana per questo risultato o c'è altro che mi sfugge?

[dissonance]

Certo, i convessi sono sufficienti, ne parlammo anni fa con il grande ViciousGoblin:

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 8&p=228778

Comunque non ti scervellare troppo. Il punto è che se una funzione $f\colon B\to \mathbb R^n$ è $C^1$ su una palla $B$ allora per ogni $x, y\in B$, ovviamente
\[
f(x+ t(y-x)) - f(x)=\int_0^t \frac{d}{d\tau}[ f(x+ \tau(y-x))] \, d\tau.\]
Tutto ovvio. Prendendo \(t=1\), stimando l'integrale con il sup del modulo delle derivate di \(f\), ecco la Lipschitzianità. L'unica proprietà di \(B\) che abbiamo usato è la convessità quindi il tutto vale su un convesso.

Nel caso in questione, può darsi che \(\Omega\) non sia convesso (argh!) ma comunque \(u_\lambda\) e \(v_\lambda\) si possono ricoprire con un numero finito di dischi, come nella figura qui:

https://math.stackexchange.com/q/44306/8157

e ragionando un po' su questo si arriva alla stima che vuoi. C'è un po' di tecnica dietro, hai ragione. Ma in fondo non è niente dell'altro mondo.