Integrale della forma differenziale
Ciao a tutti 
oggi mi sono imbattuta in un integrale di una forma differenziale che mi sta dando problemi nella risoluzione.
l'esercizio mi chiede di calcolare l'integrale di (xydx+dy) su D, dove D={(x,y)∈R^2 : -1-x<=y=<1-x^2}.
Sinceramente non so proprio come iniziare, avevo pensato di utilizzare il teorema di Stokes, però non riesco a capire bene in che intervallo varia la variabile x e quindi non riesco a svolgere l'integrale doppio ( sempre che il ragionamento sia corretto
)
grazie in anticipo a chiunque risponderà.
oggi mi sono imbattuta in un integrale di una forma differenziale che mi sta dando problemi nella risoluzione.
l'esercizio mi chiede di calcolare l'integrale di (xydx+dy) su D, dove D={(x,y)∈R^2 : -1-x<=y=<1-x^2}.
Sinceramente non so proprio come iniziare, avevo pensato di utilizzare il teorema di Stokes, però non riesco a capire bene in che intervallo varia la variabile x e quindi non riesco a svolgere l'integrale doppio ( sempre che il ragionamento sia corretto
)grazie in anticipo a chiunque risponderà.
Risposte
Fatti il grafico e si vede bene
Son un po' arrugginito in materia, ma proviamoci...
Nota come $y=-1-x$ e $y=1-x^2$ rappresentino rispettivamente una retta e una parabola. La condizione $-1-x<=y<=1-x^2$ ti sta dicendo che l'ordinata non va nè sopra la parabola, nè sotto alla retta, ma che quindi è limitata tra le due. Mettendo a sistema trovi anche i due punti comuni $P_1(2, -3)$ e $P_2(-1, 0)$, che ti svelano come l'ascissa sia limitata secondo $-1<=x<=2$.
A questo punto puoi fare due cose: o risolvi l'integrale di linea direttamente, o tramite il teorema di Green per mezzo di un integrale di superficie. Di fatto, il teorema di Green è un caso particolare del teorema di Stokes, quindi c'hai preso.
Dovrebbe venire una cosa come $int_(-1)^(2) int_(-1-x)^(1-x^2)xdydx = -3/4$ che mi pare abbia senso visto che l'area racchiusa è più negativa che positiva.
Nota come $y=-1-x$ e $y=1-x^2$ rappresentino rispettivamente una retta e una parabola. La condizione $-1-x<=y<=1-x^2$ ti sta dicendo che l'ordinata non va nè sopra la parabola, nè sotto alla retta, ma che quindi è limitata tra le due. Mettendo a sistema trovi anche i due punti comuni $P_1(2, -3)$ e $P_2(-1, 0)$, che ti svelano come l'ascissa sia limitata secondo $-1<=x<=2$.
A questo punto puoi fare due cose: o risolvi l'integrale di linea direttamente, o tramite il teorema di Green per mezzo di un integrale di superficie. Di fatto, il teorema di Green è un caso particolare del teorema di Stokes, quindi c'hai preso.
Dovrebbe venire una cosa come $int_(-1)^(2) int_(-1-x)^(1-x^2)xdydx = -3/4$ che mi pare abbia senso visto che l'area racchiusa è più negativa che positiva.
@resilienza è un integrale doppio banale, così come il dominio graficamente era banale da determinare, potevi evitare di fare tutto lo svolgimento facendo ragionare almeno un po' chi ha posto la domanda
Io sinceramente non lo trovo così banale... Anzi, non mi è chiaro cosa si intenda con "mettere a sistema" per trovare i due punti comuni e da lì gli estremi dell'ascissa. Sarei molto curioso di vedere come avete fatto 
Vi ringrazio
Vi ringrazio
@Henryl metto a sistema i luoghi geometrici che delimitano l'area da calcolare, in questo caso una retta e una parabola.
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