Integrale della Delta di Dirac come misura
Ciao a tutti,
sono curioso di conoscere il procedimento corretto per il calcolo dell'integrale
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \text{d}\delta_{t_0} \]
cioè l'integrale fatto interpretando la Delta di Dirac come una misura.
Premetto che di teoria della misura non so praticamente nulla, ciononostante voglio in ogni caso conoscere il modo giusto.
Chi mi sa aiutare?
sono curioso di conoscere il procedimento corretto per il calcolo dell'integrale
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \text{d}\delta_{t_0} \]
cioè l'integrale fatto interpretando la Delta di Dirac come una misura.
Premetto che di teoria della misura non so praticamente nulla, ciononostante voglio in ogni caso conoscere il modo giusto.
Chi mi sa aiutare?
Risposte
In generale, se $X$ è un insieme non vuoto, $\delta_x$ è la misura di Dirac su $X$ concentrata in $x_0 \in X$ e $f: X \to RR$ è misurabile allora
\[
\int_X f d\delta_{x_0} = f(x_0).
\]
Tale uguaglianza (che non dovrebbe sorprendere: insomma, è piuttosto intuitivo, visto com'è definita la misura in questione) dovrebbe essere facile da provare: comincia a provarla nel caso in cui $f$ è la caratteristica di un misurabile (chi sono i subsets misurabili rispetto alla $\delta$?) e poi, per linearità, al caso in cui $f$ è semplice. Per il caso generale, puoi assumere (wlog sempre per linearità) che $f$ sia positiva: in tal caso, prendi una successione di funzioni semplici che approssima dal basso la tua $f$ e smanettando un po' con la definizione di integrale dovresti provare l'uguaglianza voluta.
Prova un po' e facci sapere
\[
\int_X f d\delta_{x_0} = f(x_0).
\]
Tale uguaglianza (che non dovrebbe sorprendere: insomma, è piuttosto intuitivo, visto com'è definita la misura in questione) dovrebbe essere facile da provare: comincia a provarla nel caso in cui $f$ è la caratteristica di un misurabile (chi sono i subsets misurabili rispetto alla $\delta$?) e poi, per linearità, al caso in cui $f$ è semplice. Per il caso generale, puoi assumere (wlog sempre per linearità) che $f$ sia positiva: in tal caso, prendi una successione di funzioni semplici che approssima dal basso la tua $f$ e smanettando un po' con la definizione di integrale dovresti provare l'uguaglianza voluta.
Prova un po' e facci sapere
Ciao Paolo90,
innanzitutto grazie per la risposta.
Da quell'uguaglianza, ponendo \( f \equiv 1 \) e \( X = \mathbb{R} \), si ottiene l'uguaglianza che vorrei mostrare io, cioè
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \text{d} \delta_{t_0} = 1 \]
Il problema, come ho già spiegato, è che io non so niente di teoria della misura e quindi non ho gli strumenti per fare i calcoli richiesti; per questo motivo mi sono rivolto a voi, in modo da capire come andrebbe risolto questo integrale.
innanzitutto grazie per la risposta.
Da quell'uguaglianza, ponendo \( f \equiv 1 \) e \( X = \mathbb{R} \), si ottiene l'uguaglianza che vorrei mostrare io, cioè
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \text{d} \delta_{t_0} = 1 \]
Il problema, come ho già spiegato, è che io non so niente di teoria della misura e quindi non ho gli strumenti per fare i calcoli richiesti; per questo motivo mi sono rivolto a voi, in modo da capire come andrebbe risolto questo integrale.
"Riccardo Desimini":
Ciao Paolo90,
innanzitutto grazie per la risposta.
Prego, figurati.
"Riccardo Desimini":
Da quell'uguaglianza, ponendo \( f \equiv 1 \) e \( X = \mathbb{R} \), si ottiene l'uguaglianza che vorrei mostrare io, cioè
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \text{d} \delta_{t_0} = 1 \]
Sì, esatto; ciò vale per ogni $t_0 \in RR$, giacché il tuo integrando è la costante 1.
"Riccardo Desimini":
Il problema, come ho già spiegato, è che io non so niente di teoria della misura e quindi non ho gli strumenti per fare i calcoli richiesti; per questo motivo mi sono rivolto a voi, in modo da capire come andrebbe risolto questo integrale.
Capisco; personalmente, però, penso che per affrontare questi argomenti in maniera "seria" (come mi pare di capire vuoi fare tu) è necessario avere un'infarinatura di Teoria della misura. Posso chiederti che cosa studi? Stai leggendo qualche libro?
Sono uno studente di Ingegneria.
La mia curiosità nasce dal fatto che, grazie al vostro forum, ho scoperto l'interpretazione della Delta di Dirac come una misura (oltre ad essere una distribuzione) e quindi desideravo vedere come si faceva a mostrare la validità di quell'uguaglianza che tra gli ingegneri è scritta (con abuso di notazione) come
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \phi\, (t)\, \delta\, (t - \tau)\, \text{d}t = \phi\, (\tau) \]
Interpretando la \( \delta \) come una distribuzione, tale integrale è completamente privo di senso, dato che \( \delta \) non è una distribuzione regolare, mentre invece (a meno dell'errato utilizzo del \( \text{d}t \)) tale integrale ha un senso compiuto nella teoria della misura.
Spero di essermi spiegato.
La mia curiosità nasce dal fatto che, grazie al vostro forum, ho scoperto l'interpretazione della Delta di Dirac come una misura (oltre ad essere una distribuzione) e quindi desideravo vedere come si faceva a mostrare la validità di quell'uguaglianza che tra gli ingegneri è scritta (con abuso di notazione) come
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \phi\, (t)\, \delta\, (t - \tau)\, \text{d}t = \phi\, (\tau) \]
Interpretando la \( \delta \) come una distribuzione, tale integrale è completamente privo di senso, dato che \( \delta \) non è una distribuzione regolare, mentre invece (a meno dell'errato utilizzo del \( \text{d}t \)) tale integrale ha un senso compiuto nella teoria della misura.
Spero di essermi spiegato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo