Integrale del rapporto tra e^x e il cosh(x)
Buonasera, premetto che conosco le regole di integrazione(per parti, per sostituzione,...)
mi chiedevo se qualcuno mi sapesse dire come risolvere questo integrale...non vi chiedo di svolgermelo perchè non ne voglio approfittare
ma almeno se potresti dirmi voi che metodo di integrazione usereste per integrarlo(visto i miei scarsi risultati)
$ int_()^() e^x/(cosh (x)) $
mi chiedevo se qualcuno mi sapesse dire come risolvere questo integrale...non vi chiedo di svolgermelo perchè non ne voglio approfittare
ma almeno se potresti dirmi voi che metodo di integrazione usereste per integrarlo(visto i miei scarsi risultati)
$ int_()^() e^x/(cosh (x)) $
Risposte
Inizia con lo scrivere il coseno iperbolico come somma di esponenziali, poi prova a raggruppare $e^x$ sia al numeratore che al denominatore, e vedi se ti viene in mente qualcosa 
scusa verrebbe
$ int_()^() (e^x*2)/(e^x+e^-x) $
come faccio a raccogliere $ e^x $ ???
viene forse così??
$ int_()^()(e^x*2)/(e^x*(1/e^(2x)+1))$
semplificato in:
$ int_()^()(2)/((1/e^(2x)+1))$
$ int_()^() (e^x*2)/(e^x+e^-x) $
come faccio a raccogliere $ e^x $ ???
viene forse così??
$ int_()^()(e^x*2)/(e^x*(1/e^(2x)+1))$
semplificato in:
$ int_()^()(2)/((1/e^(2x)+1))$
Porta fuori le costanti e prova con un cambio di variabile.
è questo il risultato?
$ln(1+e^(2x))$
$ln(1+e^(2x))$
Direi di no. Anzitutto poiché l'integrale è improprio dovresti sempre aggiungere una costante generica. In secondo luogo, derivando la tua soluzione non si ottiene l'argomento dell'integrale.
Suggerimento: $1/(1+1/(e^(2x)))=1/(1+(1/e^(x))^2)$ e $int dx/(1+x^2)=arctan(x) +c$
Suggerimento: $1/(1+1/(e^(2x)))=1/(1+(1/e^(x))^2)$ e $int dx/(1+x^2)=arctan(x) +c$
"Aethelmyth":
Suggerimento: $1/(1+e^(2x))=1/(1+(e^(x))^2)$ e $int dx/(1+x^2)=arctan(x) +c$
Ah ok non lo sapevo proprio fare scusami.
Quindi verrebbe così?
$int e^x/(cosh(x))=arctan(e^x) +c$
No. Anche qui, derivando l'arcotangente otterresti tutt'altra cosa.
I consigli precedenti continuano a valere, quindi prova ad effettuare il cambio di variabili $1/(e^x)=y$
I consigli precedenti continuano a valere, quindi prova ad effettuare il cambio di variabili $1/(e^x)=y$
ormai ci ho perso la testa, questa è l'ultima soluzione che mi viene in mente a logica...poi veramente per non rischiare di REinventare le leggi della matematica mi puoi mostrare la soluzione =)
$int e^x/(cosh(x))=int (2*e^x)/(e^(x)*(1+1/(e^(2x)))$
semplifico $e^x$ e porto fuori il 2
$2int (1)/((1+1/(e^(2x)))$ poi tu mi hai detto che è uguale a scrivere:$2int (1)/((1+(1/(e^x))^2)$
ho sostituito
$(1+(1/(e^x))^2)$ con $(1+x^2)$
e mi è venuto(utilizzando t):
$2int (1)/(1+t^2)=2arcotan(1/(e^x))$
$int e^x/(cosh(x))=int (2*e^x)/(e^(x)*(1+1/(e^(2x)))$
semplifico $e^x$ e porto fuori il 2
$2int (1)/((1+1/(e^(2x)))$ poi tu mi hai detto che è uguale a scrivere:$2int (1)/((1+(1/(e^x))^2)$
ho sostituito
$(1+(1/(e^x))^2)$ con $(1+x^2)$
e mi è venuto(utilizzando t):
$2int (1)/(1+t^2)=2arcotan(1/(e^x))$
Fare una sostituzione non è così immediato: se $e^(-x)=y => -e^(-x)dx=dy$
Quindi con la sostituzione l'integrale diventa:
$2int (y)/(1+y^2)dy$ che si dovrebbe risolvere integrando per parti.
Quindi con la sostituzione l'integrale diventa:
$2int (y)/(1+y^2)dy$ che si dovrebbe risolvere integrando per parti.
non vedo la tua soluzione..a me viene:
$2int (1)/(1+t^2)=2arcotan(1/(e^x))$
è giusta?
$2int (1)/(1+t^2)=2arcotan(1/(e^x))$
è giusta?
$(ln(1+e^{2x}))' = (2e^{2x})/(1 + e^{2x}) = 2/(e^{-2x} + 1)$
"Aethelmyth":
Fare una sostituzione non è così immediato: se $e^(-x)=y => -e^(-x)dx=dy$
Quindi con la sostituzione l'integrale diventa:
$2int (y)/(1+y^2)dy$ che si dovrebbe risolvere integrando per parti.
...ma non veniva 1 al numeratore?
"Ska":
$(ln(1+e^{2x}))' = (2e^{2x})/(1 + e^{2x}) = 2/(e^{-2x} + 1)$
ska anche a me veniva così all'inizio del post... ma non è il risultato corretto(almeno così mi è stato detto)..
...aspetto ulteriori risposte
..qualcuno mi può aiutare?....
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