Integrale del prodotto di due coseni

[bartofra]

Avendo la seguente espressione:

\( \int_0^T cos(K1*z - ω1*t - φ1)*cos(K2*z - ω2*t - φ2) \ \text{d} t \)


Qualcuno sa spiegarmi l'affermazione che se ω1<>ω2 l'integrale è nullo?

grazie

[galessandroni]

"raimond":Avendo la seguente espressione:

\( \int_0^T cos(K1*z - ω1*t - φ1)*cos(K2*z - ω2*t - φ2) \ \text{d} t \)


Qualcuno sa spiegarmi l'affermazione che se ω1<>ω2 l'integrale è nullo?

grazie

Una domanda. Supposto $ K_1 $ e $ K_2 $ siano termini costanti e la variabile $ z $ non rientra nel dominio di integrazione - quindi costante anch'essa - è possibile riscrivere gli sfasamenti come segue:

$ { ( \Phi_1 = K_1 \cdot z - \phi_1 ),( \Phi_2 = K_2 \cdot z - \phi_2 ):} $

ottenendo:

$ \int_{0}^{T} cos (\omega_1 t - \Phi_1) cos (\omega_2 t - \Phi_2) \text{d} t $.

Applicando ora la seconda formula di Werner:

$ cos \alpha cos \beta = 1/2 [cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)] $

si ottiene:

$ 1/2 \int_{0}^{T} [ cos ((\omega_1 + \omega_2) t - (\Phi_1 + \Phi_2)) + cos ((\omega_1 - \omega_2) t - (\Phi_1 - \Phi_2)] \text{d} t $.

A questo punto però mi manca un dato: in quale relazione sono $ \omega_1 $, $ \omega_2 $ e $ T $?

[theras]

A sensazione dovresti spiegare meglio cosa sono i parametri:
magari,così facendo,ti basterà osservare che l'integrale definito d'una funzione continua periodica,
se esteso ad un intervallo d'ampiezza uguale al proprio periodo(o suoi multipli interi),è nullo.
Saluti dal web.
P.S.Le formule di Werner,che permettono di trasformare quel prodotto in una somma,dovrebbero esserti altresì utili

[bartofra]

Grazie innanzitutto è $\omega_1 = (2*pi/(T1))$ e $\omega_2 = (2*pi/(T2))$


e T è multiplo intero di T1 e T2.


Usando le formule di Werner e poi quelle di Prostaferesi, l' affermazione risulta esatta. Il risultato è zero.



P.S. Scusate se non riporto i passaggi.... li avevo faticosamente scritti tutti ma poi con un errato copia e incolla li cancellati ...
ma se a qualcuno interessa me lo faccia sapere


Grazie di nuovo