Integrale del minimo fra due funzioni
Sia $f(x) = min(7x+7; 7+x^2), AAx in [-1,1]$, dove $min(7x+7; 7+x^2)$ denota, al variare di $x$ in $[-1,1]$, il minimo fra i due numeri $7x+7$ e $7+x^2$. Si ponga $[c,d] = im(f) = f[-1,1]$, dove $c
Si ponga infine $J = int_(c)^(d) |g(y)|dy$, allora $6J$ vale...
Comincio trovando gli estremi $c$ e $d$: basta sostituire rispettivamente $-1$ e $1$ e vedere quando assumono il valore minimo, così trovo che $[c,d]$ è l'intervallo $[0,8]$, il che verifica che $c
A questo punto mi blocco, non so come andare avanti, non riesco a trovare $g(y)$.
Ho provato a fare il ragionamento "siccome $g$ è l'inversa di $f$, allora $g(x) = max((x-7)/7; sqrt(x-7))$"...ma non credo sia corretto.
C'è qualche buona anima che può darmi una mano?
Si ponga infine $J = int_(c)^(d) |g(y)|dy$, allora $6J$ vale...
Comincio trovando gli estremi $c$ e $d$: basta sostituire rispettivamente $-1$ e $1$ e vedere quando assumono il valore minimo, così trovo che $[c,d]$ è l'intervallo $[0,8]$, il che verifica che $c
A questo punto mi blocco, non so come andare avanti, non riesco a trovare $g(y)$.
Ho provato a fare il ragionamento "siccome $g$ è l'inversa di $f$, allora $g(x) = max((x-7)/7; sqrt(x-7))$"...ma non credo sia corretto.
C'è qualche buona anima che può darmi una mano?
Risposte
Per determinare $f(x)$ in una forma più amichevole, prima dovresti risolvere la seguente disequazione:
$7x+7<=7+x^2 rarr x<=0 vv x>=7$.
Quindi:
$f(x)=7x+7$ per $-1<=x<=0$
$f(x)=7+x^2$ per $0<=x<=1$
Ora puoi sicuramente procedere con maggior rigore.
$7x+7<=7+x^2 rarr x<=0 vv x>=7$.
Quindi:
$f(x)=7x+7$ per $-1<=x<=0$
$f(x)=7+x^2$ per $0<=x<=1$
Ora puoi sicuramente procedere con maggior rigore.
Usando quello che ha scritto speculor, puoi operare il seguente cambio di variabili nell'integrale: [tex]$y=f(x)$[/tex]. A questo punto, ricordando il teorema di integrazione per sostituzione e la definizione di funzione inversa, dovrebbe risultare tutto più semplice (senza determinare la funzione $g(y)$ tra l'altro).
"ciampax":
Usando quello che ha scritto speculor, puoi operare il seguente cambio di variabili nell'integrale: [tex]$y=f(x)$[/tex]..
Allora l'integrale diventerebbe $ int_(0)^(7) |g(f(x))| df(x) $ ma rimane sempre da trovare la g...
"ciampax":
A questo punto, ricordando il teorema di integrazione per sostituzione e la definizione di funzione inversa, dovrebbe risultare tutto più semplice (senza determinare la funzione $g(y)$ tra l'altro).
Non capisco come possano tornarmi utili...
$g(f(x))=x$, essendo una l'inversa dell'altra. A proposito, ottima intuizione ciampax. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo