Integrale del campo elettrico interno ad un' anello carico
non prendetemi per matto, lo so che il campo elettrico all' interno (e sullo stesso piano in cui giace l' anello) è nullo in qualsiasi punto, volevo solamente fare due conti per dimostrare che è effettivamente così (e senza utilizzare Gauss ovviamente)....... però ho qualche difficoltà a calcolare l' ultimo integrale..... mi aiuta qualcuno??
dunque una volta indicati con $\hat i$ e $\hat j$ i versori degli assi $x$ e $y$ ;
assegnato il raggio $r$ dell' anello (ovviamente l' anello è centrato sull' origine degli assi);
ho posizionato il punto nel quale voglio calcolare il campo sull' asse $x$ ad una distanza $c$ minore di $r$ (e maggiore di zero ovviamente
)
$\vec P = c \hat i$
supponendo l' anello uniformemente carico si può scrivere
$dq = \lambda*r d\alpha$
dove $\alpha$ è l' angolo tra il raggio $r$ dell' anello e l' asse delle $x$ e $\lambda$ è la densità di carica lineare
il vettore del raggio si può scrivere come
$\vec R = r* cos(\alpha) \hat i + r *sen(\alpha) \hat j$
di conseguenza la distanza tra un punto sull' anello e il punto scelto da me é
$\vec D = \vec P - \vec R = (c - r *cos(\alpha)) \hat i - r *sen(\alpha) hat j $
e il modulo vale
$|\vec D| = sqrt(c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))$
dunque
$d\vec E=(dq)/(4\pi\epsilon)* \vec D/|\vec D|^3=(\lambda*r)/(4\pi\epsilon)* \vec D/|\vec D|^3 d\alpha=(\lambda*r)/(4\pi\epsilon)((c - r *cos(\alpha)) \hat i - r *sen(\alpha) hat j)/sqrt((c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))^3) d\alpha$
e finalmente il campo elettrico nel punto scelto vale
$\vec E=(\lambda*r)/(4\pi\epsilon) \int_0^\(2\pi) ((c - r *cos(\alpha)) \hat i - r *sen(\alpha) hat j)/sqrt((c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))^3) d\alpha$
quindi
$\vec E=(\lambda*r)/(4\pi\epsilon) \int_0^\(2\pi) ((c - r *cos(\alpha)) \hat i) / sqrt((c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))^3) d\alpha - (\lambda*r)/(4\pi\epsilon) \int_0^\(2\pi) ( r *sen(\alpha) hat j)/sqrt((c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))^3) d\alpha$
l'integrale a destra vale
$(\lambda*r)/(4\pi\epsilon c)* 1/sqrt(c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))\hat j$ che calcolato tra $0$ e $2\pi$ vale $0$
rimane solamente
$\vec E=(\lambda*r)/(4\pi\epsilon) \int_0^\(2\pi) (c - r *cos(\alpha)) / sqrt((c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))^3) d\alpha \hat i$
che appunto non riesco a calcolare, ho provato con il derive6 ma non me lo risolve........ qualche indicazione?
dunque una volta indicati con $\hat i$ e $\hat j$ i versori degli assi $x$ e $y$ ;
assegnato il raggio $r$ dell' anello (ovviamente l' anello è centrato sull' origine degli assi);
ho posizionato il punto nel quale voglio calcolare il campo sull' asse $x$ ad una distanza $c$ minore di $r$ (e maggiore di zero ovviamente
) $\vec P = c \hat i$
supponendo l' anello uniformemente carico si può scrivere
$dq = \lambda*r d\alpha$
dove $\alpha$ è l' angolo tra il raggio $r$ dell' anello e l' asse delle $x$ e $\lambda$ è la densità di carica lineare
il vettore del raggio si può scrivere come
$\vec R = r* cos(\alpha) \hat i + r *sen(\alpha) \hat j$
di conseguenza la distanza tra un punto sull' anello e il punto scelto da me é
$\vec D = \vec P - \vec R = (c - r *cos(\alpha)) \hat i - r *sen(\alpha) hat j $
e il modulo vale
$|\vec D| = sqrt(c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))$
dunque
$d\vec E=(dq)/(4\pi\epsilon)* \vec D/|\vec D|^3=(\lambda*r)/(4\pi\epsilon)* \vec D/|\vec D|^3 d\alpha=(\lambda*r)/(4\pi\epsilon)((c - r *cos(\alpha)) \hat i - r *sen(\alpha) hat j)/sqrt((c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))^3) d\alpha$
e finalmente il campo elettrico nel punto scelto vale
$\vec E=(\lambda*r)/(4\pi\epsilon) \int_0^\(2\pi) ((c - r *cos(\alpha)) \hat i - r *sen(\alpha) hat j)/sqrt((c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))^3) d\alpha$
quindi
$\vec E=(\lambda*r)/(4\pi\epsilon) \int_0^\(2\pi) ((c - r *cos(\alpha)) \hat i) / sqrt((c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))^3) d\alpha - (\lambda*r)/(4\pi\epsilon) \int_0^\(2\pi) ( r *sen(\alpha) hat j)/sqrt((c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))^3) d\alpha$
l'integrale a destra vale
$(\lambda*r)/(4\pi\epsilon c)* 1/sqrt(c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))\hat j$ che calcolato tra $0$ e $2\pi$ vale $0$
rimane solamente
$\vec E=(\lambda*r)/(4\pi\epsilon) \int_0^\(2\pi) (c - r *cos(\alpha)) / sqrt((c^2 + r^2 - 2*c*r *cos(\alpha))^3) d\alpha \hat i$
che appunto non riesco a calcolare, ho provato con il derive6 ma non me lo risolve........ qualche indicazione?
Risposte
Ma perchè fare calcoli inutili quando c'è un teorema che ti consente di evitarli?
Quale istinto masochistico ti spinge a fare ciò?
Più che marcoprana avresti dovuto scegliere SanTommaso come nick!
Quale istinto masochistico ti spinge a fare ciò?
Più che marcoprana avresti dovuto scegliere SanTommaso come nick!
"Gugo82":
Ma perchè fare calcoli inutili quando c'è un teorema che ti consente di evitarli?
Quale istinto masochistico ti spinge a fare ciò?
Più che marcoprana avresti dovuto scegliere SanTommaso come nick!
ahahahahahahahah vabbè per me è importante sapere, ho letto da qualche parte che Coulomb l' ha dimostrato (e certo è che non l'ha fatto grazie a Gauss..)
nessuna idea?
Ti rispondo io che studio fisica, sperando di poter essere d'aiuto.
Innanzitutto il calcolo che tu stai tentando è impossibile. Questo perchè l'integrale che tu stai cercando di risolvere è impossibile da calcolare via analitica. E' noto infatti che
-campi elettrici generati da dischi carichi
-campi elettrici generati da anelli carichi
-campi magnetici generati da spire cariche
-campi magnetici generati da dischi o sfere carichi ruotanti
fuori dall'asse di simmetria richiedono la risoluzione di cosiddetti integrali ELLITTICI, risolubili per via numerica.
Innanzitutto il calcolo che tu stai tentando è impossibile. Questo perchè l'integrale che tu stai cercando di risolvere è impossibile da calcolare via analitica. E' noto infatti che
-campi elettrici generati da dischi carichi
-campi elettrici generati da anelli carichi
-campi magnetici generati da spire cariche
-campi magnetici generati da dischi o sfere carichi ruotanti
fuori dall'asse di simmetria richiedono la risoluzione di cosiddetti integrali ELLITTICI, risolubili per via numerica.
"antani":
Ultimo ma non meno importante, il campo elettrico di un anello uniformemente carico è nullo solo AL CENTRO dell'anello.
sulla prima parte nulla da dire, tuttavia il teorema del guscio sferico (per l' elettrostatica) dice che il campo elettrico è nullo in TUTTI I PUNTI INTERNI e non solo al centro...... quindi per simmetria deve essere così anche per l' anello (ovviamente per tutti i punti che giacciono sul piano dell' anello e sono interni)
non so se c'è qualche similitudine con il problema che ho postato, ma ho trovato anche questo http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_guscio_sferico
che dite può essere utile?
Sì scusa ho detto una belinata...hai ragione tu...mi immaginavo le linee di forza della spira percorsa da corrente per fare il ragionamento e ho mischiato tutto facendo un super minestrone...cancello tutto per evitare che qualcuno lo legga! E' vergognoso oltre che diseducativo!!
Cmq quell'integrale definito tra 0 e $2pi$ forse si può calcolare coi residui essendo del tipo $int_0^(2pi)phi(sent,cost)dt $ con $phi in C^1(R)$ e quindi il dominio contiene anche $[-1,1]x[-1,1]$ ....non so è un idea così bisognerebbe mettercisi due secondi e vedere se viene qualcosa di buono...domani provo ora vista l'ora meglio non scrivere altre scempiaggini 
problema interessante, interessante capire come si risolve quell'integrale ...
matematici? dove siete? xD
matematici? dove siete? xD
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