Integrale definito..un piccolo aiuto
$ ..int_(0)^(pi/2) sin(x)/(2+cos(x)^2) dx $
col cambiamento di variabile ottengo..
$ ..int_(0)^(1) 1/(2+t^2) dt$
ora però non riesco ad andare avanti, mi potete dare una mano?
col cambiamento di variabile ottengo..
$ ..int_(0)^(1) 1/(2+t^2) dt$
ora però non riesco ad andare avanti, mi potete dare una mano?
Risposte
E' un integrale del tipo :
$ int 1/(a^2+t^2) dt= 1/(a^2)int 1/(1+(t/a)^2) dt$
Ti ricorda qualcosa?
$ int 1/(a^2+t^2) dt= 1/(a^2)int 1/(1+(t/a)^2) dt$
Ti ricorda qualcosa?
non mi viene in mente niente o.O sto messo male lo so XD
Ci vorrebbe una bella ripetizione delle primitive elementari.
prova a ragionare su questo integrale $int (d(t/a))/(1+(t/a)^2)$
noti qualche somiglianza con un altro integrale?
prova a ragionare su questo integrale $int (d(t/a))/(1+(t/a)^2)$
noti qualche somiglianza con un altro integrale?
credo che una primitiva sia $arctan(t/a)$ giusto?
Si!
allora risulta $ 1/2 arctan(1/sqrt(2))$ ?
La primitiva dovrebbe essere $sqrt(2)/2arctg(t/sqrt(2))$
il risultato portato è $ 1/sqrt(2)*arctg(t/sqrt(2))
E' lo stesso di quello che ho postato io se fai caso ad una cosa....
ah sisi gli esponenti del 2 
svista..ci vuole l'occhio allenato in matematica 
grazie per l'aiuto ragazzi!
svista..ci vuole l'occhio allenato in matematica grazie per l'aiuto ragazzi!
$1/sqrt(2)=sqrt(2)/2$ xD
Prego!
Prego!
"Lorin":
La primitiva dovrebbe essere $sqrt(2)/2arctg(t/sqrt(2))$
scusa ma come fai ad arrivare a questo risultato?se $a=sqrt(2)$ non dovrebbe essere $1/2*arctan(t/sqrt(2))$?il tuo è giusto ma non riesco a capire perchè esce $sqrt(2)/2$ invece che $1/2$
Ripartiamo dall'inizio:
$int_(0)^(1) 1/(2+t^2) dt= int_(0)^(1) 1/(2*(1+(t^2/2)))dt= 1/2*int_(0)^(1) 1/(1+(t^2/2))dt=1/2*int_(0)^(1) 1/(1+(t/sqrt(2))^2)dt$
Ora scrivo $1/2$ come $1/sqrt(2)*1/sqrt(2)$ e porto uno dei due fattori dentro l'integrale: $1/sqrt(2)*int_(0)^(1) (1/sqrt(2))/(1+(t/sqrt(2))^2)dt$
Ma $1/sqrt(2) dt= d (t/sqrt(2))$. Pertanto l'integrale diventa $1/sqrt(2)*int_(0)^(1) 1/(1+(t/sqrt(2))^2)d(t/sqrt(2))=1/sqrt(2)*[arctg(t/(sqrt(2)))]_(t=0)^(t=1)$
$int_(0)^(1) 1/(2+t^2) dt= int_(0)^(1) 1/(2*(1+(t^2/2)))dt= 1/2*int_(0)^(1) 1/(1+(t^2/2))dt=1/2*int_(0)^(1) 1/(1+(t/sqrt(2))^2)dt$
Ora scrivo $1/2$ come $1/sqrt(2)*1/sqrt(2)$ e porto uno dei due fattori dentro l'integrale: $1/sqrt(2)*int_(0)^(1) (1/sqrt(2))/(1+(t/sqrt(2))^2)dt$
Ma $1/sqrt(2) dt= d (t/sqrt(2))$. Pertanto l'integrale diventa $1/sqrt(2)*int_(0)^(1) 1/(1+(t/sqrt(2))^2)d(t/sqrt(2))=1/sqrt(2)*[arctg(t/(sqrt(2)))]_(t=0)^(t=1)$
Non capisco questo passaggio! il reso è chiaro
"Gi8":
Ma $1/sqrt(2) dt= d (t/sqrt(2))$.
In generale, $f'(t)dt=d(f(t))$
Quindi, ad esempio, $1/t dt=d(ln(t))$, oppure $cos(t)dt=d(sin(t))$, eccetera.
Nel nostro caso, $f'(t)=1/sqrt(2)$ (funzione costante) $=> f(t)=1/sqrt(2) t$.
Se questo metodo non ti piace, si può anche seguire un'altra strada. Una volta arrivato a
Puoi fare la sostituzione $y=t/sqrt(2)$, ottenendo $t= sqrt(2)*y =>dt=sqrt(2) dy$. L'integrale diventa $1/sqrt(2)*int_(0)^(1/sqrt(2)) (1/sqrt(2))/(1+y^2) sqrt(2) dy=> 1/sqrt(2)*int_(0)^(1/sqrt(2)) 1/(1+y^2)dy$. Facendo i conti arrivi al medesimo risultato finale
Quindi, ad esempio, $1/t dt=d(ln(t))$, oppure $cos(t)dt=d(sin(t))$, eccetera.
Nel nostro caso, $f'(t)=1/sqrt(2)$ (funzione costante) $=> f(t)=1/sqrt(2) t$.
Se questo metodo non ti piace, si può anche seguire un'altra strada. Una volta arrivato a
"Gi8":
$1/sqrt(2)*int_(0)^(1) (1/sqrt(2))/(1+(t/sqrt(2))^2)dt$
Puoi fare la sostituzione $y=t/sqrt(2)$, ottenendo $t= sqrt(2)*y =>dt=sqrt(2) dy$. L'integrale diventa $1/sqrt(2)*int_(0)^(1/sqrt(2)) (1/sqrt(2))/(1+y^2) sqrt(2) dy=> 1/sqrt(2)*int_(0)^(1/sqrt(2)) 1/(1+y^2)dy$. Facendo i conti arrivi al medesimo risultato finale
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