Integrale definito svolto chiarimento !
posto un integrale svolto di cui non capisco una cosa :
$\int_(3/2)^2 (x-2)/[x^2-(5/3)x+(2/3)]dx$
il delta è maggiore di zero , trovo le radici(1, 2/3) = $(x-1)(3x-2)$
$A/(x-1) + B/(3x-2)$ da cui ricavo $A=-1,B=4$
$ \int( -1)/(x-1)dx + \int 4/(3x-2)dx$
il primo integrale lo svolge così:(premetto che il risultato finale è corretto)
$ \int( -1)/(x-1)dx =-3\int 1/(x-1)=-3log(x-1)$
per il secondo integrale non ci sono problemi , ma non capisco nel primo integrale da dove prende il 3 dato che A=-1 ??
qualcuno può gentilmente spiegarmi questo particolare grazie in anticipo
$\int_(3/2)^2 (x-2)/[x^2-(5/3)x+(2/3)]dx$
il delta è maggiore di zero , trovo le radici(1, 2/3) = $(x-1)(3x-2)$
$A/(x-1) + B/(3x-2)$ da cui ricavo $A=-1,B=4$
$ \int( -1)/(x-1)dx + \int 4/(3x-2)dx$
il primo integrale lo svolge così:(premetto che il risultato finale è corretto)
$ \int( -1)/(x-1)dx =-3\int 1/(x-1)=-3log(x-1)$
per il secondo integrale non ci sono problemi , ma non capisco nel primo integrale da dove prende il 3 dato che A=-1 ??
qualcuno può gentilmente spiegarmi questo particolare grazie in anticipo
Risposte
Essendo la funzione da integrare $(3(x-2))/((x-1)(3x-2))$ direi che si può scomporre in frazioni parziali come $3(A/(x-1)+B/(3x-2))$ ottenendo che
$(3(x-2))/((x-1)(3x-2))=3(A/(x-1)+B/(3x-2)) <=> A(3x-2)+B(x-1)=x-2$
Quindi deve essere $3A+B=1$ e $ -2A-B=-2$, sistema risolto da $A=-1, B=4$.
Quindi direi che $\int (3A)/(x-1)+(3B)/(3x-2) dx = \int -3/(x-1)+12/(3x-2) dx$
Ciao!
$(3(x-2))/((x-1)(3x-2))=3(A/(x-1)+B/(3x-2)) <=> A(3x-2)+B(x-1)=x-2$
Quindi deve essere $3A+B=1$ e $ -2A-B=-2$, sistema risolto da $A=-1, B=4$.
Quindi direi che $\int (3A)/(x-1)+(3B)/(3x-2) dx = \int -3/(x-1)+12/(3x-2) dx$
Ciao!
ciao grazie per aver risposto ma perchè metti il 3 al numeratore ???, la funzione di partenza è diversa
Prego: per quel che posso... Le radici che trovi tu mi sembrano corrette e $x^2-5/3 x+2/3=(x-1)(x-2/3)=1/3 (x-1)(3x-2)$ quindi se la funzione da integrare è $(x-2)/(x^2-5/3 x+2/3)$, il denominatore può essere fattorizzato (e da come ho capito mi sembrerebbe che sia così che il tuo libro lo fattorizza) come in $(x-2)/(1/3 (x-1)(3x-2))=(3(x-2))/((x-1)(3x-2))$.
In realtà puoi anche riscrivere questo $\int (x-2)/((x-1)(3x-2))dx$ come:
$\int -1/(x-1)dx+\int (4)/(3x-2)dx=-\int(1)/(x-1)dx+4\int 1/(3x-2)dx$
Il primo integrale è banale mentre per il secondo possiamo fare così: $4\int 1/(3x-2)dx=4*1/3\int 3/(3x-2)dx$ per avere la derivata di $3x$ al numeratore. Da qui si riesce a concludere facilmente
$\int -1/(x-1)dx+\int (4)/(3x-2)dx=-\int(1)/(x-1)dx+4\int 1/(3x-2)dx$
Il primo integrale è banale mentre per il secondo possiamo fare così: $4\int 1/(3x-2)dx=4*1/3\int 3/(3x-2)dx$ per avere la derivata di $3x$ al numeratore. Da qui si riesce a concludere facilmente
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