Integrale definito per sostituzione
Buon giorno 
,
ho qualche dubbio su svolgimento e risultato del seguente limite:
$ \int_{e}^{1}\frac{(lnx)arcsin\sqrt{1-lnx^2}}{\sqrt{x^2-(xlnx)^2}}dx $
SVOLGIMENTO
$\int_{e}^{1}\frac{(lnx)arcsin\sqrt{1-ln^2x}}{\sqrt{x^2-(xlnx)^2}}dx =-\int_{e}^{1}arcsin\sqrt{1-ln^2x}(-\frac{lnx}{x\sqrt{1-ln^2x}})dx$
$\Rightarrow \sqrt{1-ln^2x}=t;-\frac{lnx}{x\sqrt{1-ln^2x}}=dt\Rightarrow$=$-\int_{1}^{e}(1)arcsin(t)dt=$
$arcsin1+\int_{1}^{e}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=arcsin1+arcsin1=2arcsin1+c$
In particolare non mi convince lo svolgimento dalla parte in cui integro per parti in poi.
,ho qualche dubbio su svolgimento e risultato del seguente limite:
$ \int_{e}^{1}\frac{(lnx)arcsin\sqrt{1-lnx^2}}{\sqrt{x^2-(xlnx)^2}}dx $
SVOLGIMENTO
$\int_{e}^{1}\frac{(lnx)arcsin\sqrt{1-ln^2x}}{\sqrt{x^2-(xlnx)^2}}dx =-\int_{e}^{1}arcsin\sqrt{1-ln^2x}(-\frac{lnx}{x\sqrt{1-ln^2x}})dx$
$\Rightarrow \sqrt{1-ln^2x}=t;-\frac{lnx}{x\sqrt{1-ln^2x}}=dt\Rightarrow$=$-\int_{1}^{e}(1)arcsin(t)dt=$
$arcsin1+\int_{1}^{e}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=arcsin1+arcsin1=2arcsin1+c$
In particolare non mi convince lo svolgimento dalla parte in cui integro per parti in poi.
Risposte
Ciao!
Puoi notare che:
$int_a^b \frac{ln(x) arcsin(\sqrt{\-ln^2(x)})}{\sqrt{x^2-(xln(x))^2}} dx $
È un integrale del tipo:
$int_a^b arcsin(f(x))*f'(x) dx = arcsin(f(x))f(x) - int_a^b d/dx arcsin(f(x))*f(x) dx $
Quest'ultimo integrale diventa particolarmente semplice, infatti:
$int_a^b d/dx arcsin(f(x))*f(x) dx = int_a^b \sqrt{1-ln^2(x)} *\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-ln^2(x)})^2}}*\frac{-ln(x)}{\sqrt{1-ln^2(x)}} dx $
E si vede facilmente che l'integrale indefinito è $-ln(x)+c$.
Puoi notare che:
$int_a^b \frac{ln(x) arcsin(\sqrt{\-ln^2(x)})}{\sqrt{x^2-(xln(x))^2}} dx $
È un integrale del tipo:
$int_a^b arcsin(f(x))*f'(x) dx = arcsin(f(x))f(x) - int_a^b d/dx arcsin(f(x))*f(x) dx $
Quest'ultimo integrale diventa particolarmente semplice, infatti:
$int_a^b d/dx arcsin(f(x))*f(x) dx = int_a^b \sqrt{1-ln^2(x)} *\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-ln^2(x)})^2}}*\frac{-ln(x)}{\sqrt{1-ln^2(x)}} dx $
E si vede facilmente che l'integrale indefinito è $-ln(x)+c$.
Grazie per la risposta ma ho qualche dubbio
Hai applicato questa formula $\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx$ , giusto?
Quindi se
Il risultato finale dell'integrale sarà :
$arcsinf(a)f(a)+[lnx]_{a}^{b}+c=arcsinf(a)f(a)+(lnb-lna)+c$
Giusto ?
"Black Magic":
$ int_a^b arcsin(f(x))*f'(x) dx = arcsin(f(x))f(x) - int_a^b d/dx arcsin(f(x))*f(x) dx $
Hai applicato questa formula $\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx$ , giusto?
Quindi se
"Black Magic":
$ int_a^b d/dx arcsin(f(x))*f(x) dx = int_a^b \sqrt{1-ln^2(x)} *\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-ln^2(x)})^2}}*\frac{-ln(x)}{\sqrt{1-ln^2(x)}} dx =-ln(x)+c $
Il risultato finale dell'integrale sarà :
$arcsinf(a)f(a)+[lnx]_{a}^{b}+c=arcsinf(a)f(a)+(lnb-lna)+c$
Giusto ?
"FM93":
Grazie per la risposta ma ho qualche dubbio
[quote="Black Magic"]
$ int_a^b arcsin(f(x))*f'(x) dx = arcsin(f(x))f(x) - int_a^b d/dx arcsin(f(x))*f(x) dx $
Hai applicato questa formula $\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx$ , giusto?
[/quote]
Certo, è proprio quella.
"FM93":
Quindi se
[quote="Black Magic"]
$ int_a^b d/dx arcsin(f(x))*f(x) dx = int_a^b \sqrt{1-ln^2(x)} *\frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-ln^2(x)})^2}}*\frac{-ln(x)}{\sqrt{1-ln^2(x)}} dx =-ln(x)+c $
Il risultato finale dell'integrale sarà :
$arcsinf(a)f(a)+[lnx]_{a}^{b}+c=arcsinf(a)f(a)+(lnb-lna)+c$
Giusto ?[/quote]
Sì, ma preciamente: $arcsin(f(b))f(b)-arcsinf(a)f(a)+[lnx]_{a}^{b}+c$
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