Integrale definito non elementare

[emaz92]

Non è un esercizio, è una cosa che mi chiedo e che mi incuriosisce. Come potrei dimostrare questa uguaglianza

$int_0^(infty)sen(x)dx/sqrt(x)=sqrt(pi/2)$?

mi chiedevo se calcolare questo integrale $int_0^(infty)int_0^(infty)[sen(y)sen(x)]/[sqrt(y)sqrt(x)]dxdy$ poteva aiutarmi

[lobacevskij]

Attento, forse ai editato male, perchè
$\int_0^infty sen (x/sqrt(x))dx$
che puoi riscrivere come:
$\int_0^infty sen (sqrt(x))dx$
non va bene in quanto $sen (sqrt(x))$ non converge nell'intervallo in esame.
Per avere il risultato che segnali tu l'integrale deve essere:
$\int_0^infty (sen (x))/(sqrt(x))dx$
Non riesco però a capire da dove salta fuori il tuo secondo integrale

[emaz92]

"lobacevskij":Attento, forse ai editato male, perchè
$\int_0^infty sen (x/sqrt(x))dx$
che puoi riscrivere come:
$\int_0^infty sen (sqrt(x))dx$
non va bene in quanto $sen (sqrt(x))$ non converge nell'intervallo in esame.
Per avere il risultato che segnali tu l'integrale deve essere:
$\int_0^infty (sen (x))/(sqrt(x))dx$
Non riesco però a capire da dove salta fuori il tuo secondo integrale

si ho editato male, comunque il secondo integrale è il quadrato del primo, quindi se calcolassi quello basterebbe estrarre la radice, ma non so se è calcolabile, prima di provarci volevo chiedere

[emaz92]

up$^1$

[emaz92]

up$^2$

[rbtqwt]

Con un cambio di variabili ottieni $\int_0^\infty \frac{\sin x}{\sqrt x} dx = 2\int_0^\infty \sin x^2 dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \sin x^2 dx$, che è un particolare integrale di Fresnel, il cui valore può essere ottenuto utilizzando l'analisi complessa (vedi ad esempio http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_integral per una traccia).

Alternativamente, l'integrale può essere calcolato con metodi elementari, ad esempio nell'articolo
Moivre's and Fresnel's Integrals by Simple Integration, J. van Yzeren, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 8 (Oct., 1979), pp. 690-693
l'autore ragiona nel modo seguente (riporto brevemente la linea guida):

- Si pongono [tex]S := \int_{-\infty}^{+\infty} \sin x^2 dx = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt x} dx[/tex] e [tex]C := \int_{-\infty}^{+\infty} \cos x^2 dx = \int_0^{+\infty} \frac{\cos x}{\sqrt x} dx[/tex].
- Si definiscono le funzioni [tex]y \mapsto S(y) := \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(y(1+x^2))}{1+x^2} dx[/tex] e [tex]y \mapsto C(y) := \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos(y(1+x^2))}{1+x^2} dx[/tex].
- Si mostra che $\lim_{y \to +\infty} S(y) = \lim_{y \to +\infty} C(y) = 0$.
- Si mostra che $S'(y) = \frac{C\cos y - S \sin y}{\sqrt y}$ e $C'(y) = -\frac{C\sin y + S \cos y}{\sqrt y}$ e da questi si ottiene $S(y) = -\int_y^{+\infty} \frac{C\cos x - S \sin x}{\sqrt x} dx$ e $C(y) = \int_y^{+\infty} \frac{C\sin x + S \cos x}{\sqrt x} dx$.
- Dalle espressioni ottenute, si ha $0 = S(0) = S^2-C^2$ e $\pi = C(0) = 2SC$, da cui $S = C = \sqrt{\pi/2}$.
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