Integrale definito ( lunghezza di una curva)
Salve a tutti, ecco il motivo per il precedente topic sull'integrale 
$sqrt(2)\int_(0)^(\2pi) sqrt(1-cos(x))dx$
Questo integrale deriva dalla Geometria e salta fuori dalla seguente definizione:
" Siano $ D sube RR^3$ ed $F : D ->RR$ una funzione. Sia $f:[a,b] -> C sube B$ una curva parametrizzata; allora definiamo l'integrale curvilineo di I specie di $F$ lungo $f$ come:
$\int_(f) (F) df= \int_(a)^(b) (F o f)|f '| dt$ "
Comunque non sarei nella sezione giusto se la questione non fosse strettamente legata all'analisi
Infatti il mio problema è calcolare l'integrale di sopra:
$sqrt(2)\int_(0)^(\2pi) sqrt(1-cos(x))dx$
Posso usare il metodo suggerito da Pallit nell'altro topic:
$sqrt(2)\int_(0)^(\2pi) sqrt(1-cos(x))*sqrt(1+cos(x))/(1+cos(x))dx$
$sqrt(2)\int_(0)^(\2pi) |sin(x)|/sqrt(1+cos(x))dx$
$sqrt(2)\int_(0)^(\pi) sin(x)/sqrt(1+cos(x))dx-sqrt(2)\int_(\pi)^(\2pi)sin(x)/sqrt(1+cos(x))dx$
$[-2sqrt(2)sqrt(1+cos(x))]_(0)^(\pi)+[2sqrt(2)sqrt(1+cos(x))]_(\pi)^(\2pi)=0+4+4+0=8$
Vi sembra tutto corretto?
$sqrt(2)\int_(0)^(\2pi) sqrt(1-cos(x))dx$
Questo integrale deriva dalla Geometria e salta fuori dalla seguente definizione:
" Siano $ D sube RR^3$ ed $F : D ->RR$ una funzione. Sia $f:[a,b] -> C sube B$ una curva parametrizzata; allora definiamo l'integrale curvilineo di I specie di $F$ lungo $f$ come:
$\int_(f) (F) df= \int_(a)^(b) (F o f)|f '| dt$ "
Comunque non sarei nella sezione giusto se la questione non fosse strettamente legata all'analisi
Infatti il mio problema è calcolare l'integrale di sopra:
$sqrt(2)\int_(0)^(\2pi) sqrt(1-cos(x))dx$
Posso usare il metodo suggerito da Pallit nell'altro topic:
$sqrt(2)\int_(0)^(\2pi) sqrt(1-cos(x))*sqrt(1+cos(x))/(1+cos(x))dx$
$sqrt(2)\int_(0)^(\2pi) |sin(x)|/sqrt(1+cos(x))dx$
$sqrt(2)\int_(0)^(\pi) sin(x)/sqrt(1+cos(x))dx-sqrt(2)\int_(\pi)^(\2pi)sin(x)/sqrt(1+cos(x))dx$
$[-2sqrt(2)sqrt(1+cos(x))]_(0)^(\pi)+[2sqrt(2)sqrt(1+cos(x))]_(\pi)^(\2pi)=0+4+4+0=8$
Vi sembra tutto corretto?
Risposte
Ciao
sinceramente fatico un po' a capire come hai fatto l'integrale
[tex]\int \sqrt{1-\cos x} dx[/tex]
io ho provato a farlo per sostituzione
pongo $cos x =t$ da cui $dt /dx = - \sin x \Rightarrow dx = - dt/(\sin x)$
vedo $\sin x = sqrt(1- cos^2 x) = sqrt(1- t^2)$
quindi l'integrale mi diventa
[tex]\int \sqrt{1-\cos x} dx = -\int \frac{ \sqrt{1-t} }{\sqrt{1-t^{2}}} dt =-\int \frac{ \sqrt{1-t} }{\sqrt{1-t} \sqrt{1+t} } dt[/tex]
[tex]= -\int \frac{ 1}{\sqrt{1+t} } dt = -2 \sqrt{1+t} = -2 \sqrt{1+ \cos x}[/tex]
quindi nel tuo caso
[tex]\sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-\cos x} dx = \sqrt{2} \cdot \left( -2 \sqrt{1+ \cos x} \right)_{0}^{2\pi} = \sqrt{2} \cdot \left( -2 \sqrt{1+ \cos 2\pi} \right) - \left( -2 \sqrt{1+ \cos 0} \right)[/tex]
[tex]=\sqrt{2} \cdot \left((-2 \sqrt{1-1})+(2\sqrt{1+1}) \right) = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 4[/tex]
ti torna?
sinceramente fatico un po' a capire come hai fatto l'integrale
[tex]\int \sqrt{1-\cos x} dx[/tex]
io ho provato a farlo per sostituzione
pongo $cos x =t$ da cui $dt /dx = - \sin x \Rightarrow dx = - dt/(\sin x)$
vedo $\sin x = sqrt(1- cos^2 x) = sqrt(1- t^2)$
quindi l'integrale mi diventa
[tex]\int \sqrt{1-\cos x} dx = -\int \frac{ \sqrt{1-t} }{\sqrt{1-t^{2}}} dt =-\int \frac{ \sqrt{1-t} }{\sqrt{1-t} \sqrt{1+t} } dt[/tex]
[tex]= -\int \frac{ 1}{\sqrt{1+t} } dt = -2 \sqrt{1+t} = -2 \sqrt{1+ \cos x}[/tex]
quindi nel tuo caso
[tex]\sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1-\cos x} dx = \sqrt{2} \cdot \left( -2 \sqrt{1+ \cos x} \right)_{0}^{2\pi} = \sqrt{2} \cdot \left( -2 \sqrt{1+ \cos 2\pi} \right) - \left( -2 \sqrt{1+ \cos 0} \right)[/tex]
[tex]=\sqrt{2} \cdot \left((-2 \sqrt{1-1})+(2\sqrt{1+1}) \right) = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 4[/tex]
ti torna?
[tex]\sin x= \sqrt{1-\cos^2 x}[/tex] , se [tex]0\leq x\leq \pi[/tex] ;
[tex]\sin x= -\sqrt{1-\cos^2 x}[/tex] , se [tex]\pi\leq x\leq 2 \pi[/tex].
Anche a me risulta $8$, e guardando l'area del grafico sotto la curva [tex]y= \sqrt{2(1-\cos x)}[/tex] nell'intervallo $[0,2\pi]$ mi sembra assolutamente credibile, ma può darsi che sbagli. Ciao
[tex]\sin x= -\sqrt{1-\cos^2 x}[/tex] , se [tex]\pi\leq x\leq 2 \pi[/tex].
Anche a me risulta $8$, e guardando l'area del grafico sotto la curva [tex]y= \sqrt{2(1-\cos x)}[/tex] nell'intervallo $[0,2\pi]$ mi sembra assolutamente credibile, ma può darsi che sbagli. Ciao
"Palliit":
[tex]\sin x= \sqrt{1-\cos^2 x}[/tex] , se [tex]0\leq x\leq \pi[/tex] ;
[tex]\sin x= -\sqrt{1-\cos^2 x}[/tex] , se [tex]\pi\leq x\leq 2 \pi[/tex].
Anche a me risulta $8$, e guardando l'area del grafico sotto la curva [tex]y= \sqrt{2(1-\cos x)}[/tex] nell'intervallo $[0,2\pi]$ mi sembra assolutamente credibile, ma può darsi che sbagli. Ciao
In effetti riscrivere $sqrt(1-cos(x))$ come $|sin(x)|/sqrt(1+cos(x))$ è lecito, per scrupolo ho guardato il grafico e sono uguali quindi in effetti la primitiva è corretta
[tex]\sin x= -\sqrt{1-\cos^2 x}[/tex] , se [tex]\pi\leq x\leq 2 \pi[/tex].
Quindi ho sbagliato e dovrei utilizzare queste relazioni, oppure va bene anche il mio procedimento?
"Obidream":
Quindi ho sbagliato e dovrei utilizzare queste relazioni...?
Hai usato queste relazioni, spezzando l'integrale in due e mettendo un segno "$-$" davanti al secondo. Ciao
"Palliit":
[quote="Obidream"]Quindi ho sbagliato e dovrei utilizzare queste relazioni...?
Hai usato queste relazioni, spezzando l'integrale in due e mettendo un segno "$-$" davanti al secondo. Ciao[/quote]
Ah, grazie ancora
Altra domanda (scema)
io l'ho spezzato usando la definizione di $|sin(x)|$...
$|sin(x)|={(sin(x),if sin(x)>=0),(-sin(x),if sin(x)<0):}$
$|sin(x)|={(sin(x),if 0<=x<=\pi),(-sin(x),if \pi
Questo ristretto all'intervallo $[0,2\pi]$, ovvero gli estremi di integrazione.. Io avevo fatto questo ragionamento, a lezione ci avevano lasciato da risolvere solo questo quindi non so se il risultato è corretto
io l'ho spezzato usando la definizione di $|sin(x)|$...
$|sin(x)|={(sin(x),if sin(x)>=0),(-sin(x),if sin(x)<0):}$
$|sin(x)|={(sin(x),if 0<=x<=\pi),(-sin(x),if \pi
Questo ristretto all'intervallo $[0,2\pi]$, ovvero gli estremi di integrazione.. Io avevo fatto questo ragionamento, a lezione ci avevano lasciato da risolvere solo questo quindi non so se il risultato è corretto
É corretto, quello che hai fatto ed il risultato. Ciao
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