Integrale definito improprio

[delca85]

Mi aiutate a risolvere questo integrale: $\int_0^pi 1/(2+cos(x)^2)$? Io non so come fare perchè se fosse indefinito per trovare la primitiva lo farei con la sostituzione $t=tan(x)$ ma la tangente non è definita per tutto l'intervallo di integrazione!

[Lazar1]

Ciao!
Prova queste sostituzioni:
1) $cos^2(x)=(cos(2x)+1)/2$
2) $t=tan(2x/2) -> cos(2x)=(1-t^2)/(1+t^2)$
con queste due sostituzioni successive dovrebbe venire.

[delca85]

Non so se è questa la strada giusta perchè il mio prof dice che in questi casi bisogna spezzare l'intervallo di integrazione e risolvere l'integrale improprio...

[Lazar1]

Facendo col mio metodo mi viene $I=pi/sqrt(6)$.
Qual è il risultato?

[delca85]

Giusto!
Porca miseria ma il prof ha inserito l'argomento integrali impropri per risolvere questo integrale!

[delca85]

Posso risolverlo da $(-pi/2,pi/2)$, visto che il coseno è elevato al quadrato?

[delca85]

Nel senso di farlo diventare $\int_(-pi/2)^(pi/2) 1/(2+cos^2x)dx$, così poi posso sostituire con la tangente..

[Lazar1]

Scusa il ritardo.
Risolvo l'integrale indefinito come ti ho scritto e il risultato è
$I=(Arctan((tgx)/sqrt(3/2)))/sqrt(6)$
Adesso lo tratti come un integrale improprio e calcoli il $lim_(x->(pi/2)+)I$ e $lim_(x->(pi/2)-)I$

[delca85]

Scusa, probabilmente sono fusa io, ma come faccio a fare il limite di quell'espressione che mi hai scritto, per $xrarr(pi/2)+$ se la tangente non è definita per i valori maggiori di $pi/2$?
Grazie per la pazienza!

[Lazar1]

Sfruttando l'additività degli integrali definiti diventa:

$I=1/(sqrt(6))*[[lim_(a->(pi)/2-)(Arctan((tg(a))/sqrt(3/2)))-Arctan((tg(0))/sqrt(3/2))]+[Arctan((tg(pi))/sqrt(3/2))-lim_(b->(pi)/2+)(Arctan((tg(b))/sqrt(3/2)))]]$

Lo posso fare anche se la funzione non è definita in quel punto $(pi/2)$ proprio perchè faccio il limite. Per valori maggiori di $pi/2$ la tangente è definita,attenzione! Da quello che mi hai scritto prima sembreva avessi capito che la tangente non è definita per $x>pi/2$.
Spero di esserti stato d'aiuto

[delca85]

Assolutamente d'aiuto, meglio di così non potevi proprio fare! Ieri ho fatto della gran confusione.
Grazie mille ancora!