Integrale Definito Funzione Irrazionale
Ciao a tutti.
Stavo svolgendo il seguente integrale di funzione irrazionale
$int_{1}^{2}sqrt(x^2-2)/x dx$, operando la sostituzione $x=sqrt(2)Cht$ quindi $t=Ch^-1(x/sqrt(2))$
Per riscrivere gli estremi di integrazione, mi accorgo che $t$ non è definita il $x=1$...quindi la funzione non è integrabile in questo intervallo??
Ho inoltre il seguente dubbio: se ho $|Sh(t)|, t = Ch^-1(x) => |Sh(t)|=Sh(t)$ dato che $Sh(t)>=0Leftrightarrow t>=0$ e $Ch^-1(x)>=0AAx in RR$, giusto? Perchè il mio libro dice che quando ho $|Sh(t)|$ devo prima vedere gli estremi di integrazione per togliere il modulo, mentre secondo il mio ragionamento posso toglierlo sempre.
P.S. Con $Ch^-1$ intendo il SettoreCosenoIperbolico
Stavo svolgendo il seguente integrale di funzione irrazionale
$int_{1}^{2}sqrt(x^2-2)/x dx$, operando la sostituzione $x=sqrt(2)Cht$ quindi $t=Ch^-1(x/sqrt(2))$
Per riscrivere gli estremi di integrazione, mi accorgo che $t$ non è definita il $x=1$...quindi la funzione non è integrabile in questo intervallo??
Ho inoltre il seguente dubbio: se ho $|Sh(t)|, t = Ch^-1(x) => |Sh(t)|=Sh(t)$ dato che $Sh(t)>=0Leftrightarrow t>=0$ e $Ch^-1(x)>=0AAx in RR$, giusto? Perchè il mio libro dice che quando ho $|Sh(t)|$ devo prima vedere gli estremi di integrazione per togliere il modulo, mentre secondo il mio ragionamento posso toglierlo sempre.
P.S. Con $Ch^-1$ intendo il SettoreCosenoIperbolico
Risposte
Ma è la funzione di partenza a non essere definita nell'intervallo! Non ti serve la sostituzione per verificarlo.
Ciao simki,
Eh beh, direi proprio di no... D'altronde sono d'accordo con @melia, anche senza passare per la sostituzione che hai proposto, che comunque non mi pare il massimo, la funzione integranda è definita quando è positivo ciò che compare sotto la radice quadrata a numeratore, cioè per $ x \le - sqrt{2} vv x \ge sqrt{2} > 1 $
Detto questo, mi risolverei prima l'integrale indefinito con una sostituzione diversa da quella che hai proposto e cioè ponendo $x := sqrt{2} sec t \implies dx = sqrt{2} tan t sec t dt $ e quindi si ha:
$ int sqrt(x^2-2)/x dx = int frac{sqrt{2 sec^2 t - 2}}{sqrt{2} sec t} sqrt{2} tan t sec t dt = sqrt{2} int tan^2 t dt = $
$ = sqrt{2} int frac{sin^2 t} {cos^2 t} dt = sqrt{2} int frac{1 - cos^2 t} {cos^2 t} dt = sqrt{2} (int frac{1} {cos^2 t} dt - int dt) = $
$ = sqrt{2} tan t - sqrt{2} t + c = sqrt{2} tan[sec^{- 1}(x/sqrt{2})] - sqrt{2} sec^{-1}(x/sqrt{2}) + c = $
$ = sqrt{x^2 - 2} - sqrt{2} arctan(sqrt{frac{x^2 - 2}{2}}) + c $
Se calcoli quanto ottenuto fra $x = 1 $ e $x = 2 $ il risultato è un numero negativo sotto la radice quadrata...
"simki":
Per riscrivere gli estremi di integrazione, mi accorgo che $t $ non è definita in $x=1 $...quindi la funzione non è integrabile in questo intervallo??
Eh beh, direi proprio di no... D'altronde sono d'accordo con @melia, anche senza passare per la sostituzione che hai proposto, che comunque non mi pare il massimo, la funzione integranda è definita quando è positivo ciò che compare sotto la radice quadrata a numeratore, cioè per $ x \le - sqrt{2} vv x \ge sqrt{2} > 1 $
Detto questo, mi risolverei prima l'integrale indefinito con una sostituzione diversa da quella che hai proposto e cioè ponendo $x := sqrt{2} sec t \implies dx = sqrt{2} tan t sec t dt $ e quindi si ha:
$ int sqrt(x^2-2)/x dx = int frac{sqrt{2 sec^2 t - 2}}{sqrt{2} sec t} sqrt{2} tan t sec t dt = sqrt{2} int tan^2 t dt = $
$ = sqrt{2} int frac{sin^2 t} {cos^2 t} dt = sqrt{2} int frac{1 - cos^2 t} {cos^2 t} dt = sqrt{2} (int frac{1} {cos^2 t} dt - int dt) = $
$ = sqrt{2} tan t - sqrt{2} t + c = sqrt{2} tan[sec^{- 1}(x/sqrt{2})] - sqrt{2} sec^{-1}(x/sqrt{2}) + c = $
$ = sqrt{x^2 - 2} - sqrt{2} arctan(sqrt{frac{x^2 - 2}{2}}) + c $
Se calcoli quanto ottenuto fra $x = 1 $ e $x = 2 $ il risultato è un numero negativo sotto la radice quadrata...
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