Integrale definito fratto

[Wallace89]

Ciao a tutti, mi sono bloccato totalmente nello svolgimento di questo integrale definito, potete aiutarmi?

$\int_{2}^{3} ((3x+2)/(x^2-5x+4)) dx$
innanzitutto ho scomposto l'integrale in due pezzi, ovvero

$\int_{2}^{3} ((3x)/(x^2-5x+4)) dx$ e $\int_{2}^{3} ((2)/(x^2-5x+4)) dx$

Mi sono occupatp ovviamente del primo integrale, ho portato fuori la costante moltiplicativa e ho cercato di trovare un valore per cui si riuscisse a trasformare il polinomio a denominatore in una differenza di quadrati
$\3 int_{2}^{3} ((x)/(x^2-5x+4+(25/4)-(25/4))) dx$ fatto ciò risulta

$\3 int_{2}^{3} ((x)/((x-(5/2))^2-(25/4)+4))dx$

$\3 int_{2}^{3} ((x)/((x-(5/2))^2-(9/4))dx$


ora ho sostituito

$t=x-(5/2)$

$dt = 1dx$

$x=t+(5/2)$

fatto ciò risulterà


$\3 int_{2}^{3} (t+(5/2))/((t)^2-(9/4))dt$ spezzo nuovamente l'integrale in $\3 int_{2}^{3} (t)/((t)^2-(9/4))dt+3 int_{2}^{3} ((5/2))/((t)^2-(9/4))dt$

Quindi ottendo " $\3((1/2)ln(|t^2-(9/4)|)+ (5/2)int_{2}^{3} (1)/((t)^2-(9/4))dt$


Da questo punto in poi ho finito la fantasia ho sbagliato qualcosa? come posso procedere?

Sarei grato a chiunque mi possa dare un dritta, e soprattutto, esiste un "metodo" o criterio per riuscore ad affrontare al meglio integrali fratti con Delta <0???

[pilloeffe]

Ciao Wallace89,

Innanzitutto... Dove lo vedi il $\Delta < 0$?

Mi risolverei innanzitutto l'integrale indefinito con una scomposizione in fratti "furba":

$\int frac{3x + 2}{x^2-5x+4} dx = \int [frac{3(2x - 5)}{2(x^2-5x+4)} + frac{19}{2(x^2-5x+4)}] dx = $
$ = frac{3}{2} \int frac{2x - 5}{x^2-5x+4} dx + frac{19}{2}\int frac{1}{x^2-5x+4} dx =$
$ = frac{3}{2} \ln|x^2-5x+4| + frac{19}{2}\int frac{1}{(x - 1)(x - 4)} dx =$
$ = frac{3}{2} \ln|(x - 1)(x - 4)| + frac{19}{2}\int (frac{1/3}{x - 4} - frac{1/3}{x - 1}) dx =$
$ = frac{3}{2} \ln|x - 1| + frac{3}{2} \ln|x - 4| + frac{19}{6}\ln|x - 4| - frac{19}{6}\ln|x - 1| + c =$
$ = frac{14}{3}\ln|x - 4| - frac{5}{3} \ln|x - 1| + c $

ora dovresti riuscire a completarlo.

[Wallace89]

Pardon hai ragione, mi sono sbagliato, comunque non capisco come hai fatto la scomposizione perdonami. La primissima scomposizione che hai scritto, non la capisco francamente, quel 19 ??

[Wallace89]

Allora, one moment

ho scomposto in fratti semplici come hai suggerito in un passaggio successivo

$((3x+2)/((x-1)(x-4)))$ per cui $(A)/(x-1)+(B)/(x-4))$

$((Ax-4A+Bx-B)/((x-1)(x-4)))$ ricaviamo dal sistema

$(A+B=3)$

$(-4A-B=2)$ da cui troviamo $(A=-(5/3))$ e $(B=(14/3))$

da cui poi ottengo lo stesso risultato che hai ottenuto tu, $ A ln(|x-1|)+ B ln(|x-4|)$

[pilloeffe]

La mia scomposizione è del tipo

$frac{3x + 2}{x^2-5x+4} = frac{A(2x - 5)}{x^2-5x+4} + frac{B}{x^2-5x+4}$

in modo da far comparire a numeratore della prima frazione la derivata del denominatore: è equivalente alla tua. Anzi, la tua è anche più rapida...