Integrale definito (formalmente è corretto?)
Salve,
vorre chiedere un aiuto per capire se è corretto o meno formalmente a livello di definizioni di integrale definito ecc.
Il dubbio mi si è palesato dovendo risolvere $int_0^pi sinx cosx dx$
Ovviamente con una sostituzione è facilmente visibile sia zero, ora se voglio invece sostituire: sinx=t da ciò arriverei ad avere come estremi di integrazione $int_0^0$ che intuitivamente direi essere ovviamente nullo.
Ora, è formalmente corretto però definire un integrale su (di fatto) un punto? Cioè un integrale definito con stessi estremi di integrazione o è completamente errato?
Grazie.
vorre chiedere un aiuto per capire se è corretto o meno formalmente a livello di definizioni di integrale definito ecc.
Il dubbio mi si è palesato dovendo risolvere $int_0^pi sinx cosx dx$
Ovviamente con una sostituzione è facilmente visibile sia zero, ora se voglio invece sostituire: sinx=t da ciò arriverei ad avere come estremi di integrazione $int_0^0$ che intuitivamente direi essere ovviamente nullo.
Ora, è formalmente corretto però definire un integrale su (di fatto) un punto? Cioè un integrale definito con stessi estremi di integrazione o è completamente errato?
Grazie.
Risposte
Ciao tempismo, benvenuto sul forum!
Per $a \in \mathbb{R}$ si pone, per definizione, $\int_a^a f(x)\text{d}x=0$.
Per aiutarti a capire meglio cosa sta succedendo con la sostituzione, ti pongo io a tua volta una domanda: quali sono le ipotesi del teorema riguardante le sostituzioni negli integrali definiti?
"tempismo":
Ora, è formalmente corretto però definire un integrale su (di fatto) un punto? Cioè un integrale definito con stessi estremi di integrazione o è completamente errato?
Per $a \in \mathbb{R}$ si pone, per definizione, $\int_a^a f(x)\text{d}x=0$.
"tempismo":
ora se voglio invece sostituire: sinx=t da ciò arriverei ad avere come estremi di integrazione $int_0^0$ che intuitivamente direi essere ovviamente nullo.
Per aiutarti a capire meglio cosa sta succedendo con la sostituzione, ti pongo io a tua volta una domanda: quali sono le ipotesi del teorema riguardante le sostituzioni negli integrali definiti?
Ciao 
Risponderei che la funzioen interna deve essere continua e derivabile e la esterna continua?
Quale sarebbe la risposta corretta?
Risponderei che la funzioen interna deve essere continua e derivabile e la esterna continua?
Quale sarebbe la risposta corretta?
Se con esterna intendi $f$ in $\int_a^b f(g(x))\text{d}x$, sì. L'interna si prende derivabile con derivata continua, di solito (questa regolarità si indica, tipicamente, con $\mathcal{C}^1$). Però c'è anche una parte del teorema che si riferisce all'intervallo di integrazione ottenuto dopo la sostituzione. Esso, in generale, non è univoco: lo è se la funzione interna $g$ è anche invertibile. Se poi la funzione interna $g$ è strettamente monotòna, essa è iniettiva (ciò è garantito da un teorema) e quindi è invertibile se ristretta alla sua immagine; in tal caso, si può effettivamente ricavare sostituendo "brutalmente" gli estremi $a$ e $b$. Perciò, la nuova domanda è: la funzione $\text{sin}$ è invertibile in $[0,\pi]$?
Effettivamente: no! Quindi dovrei dire che quella sostituzione che volevo fare è illecita.
Però non comprendo bene il motivo per cui richiedere anche l'invertibilità, mi sembra una restizione in più che a conti fatti è piuttosto inutile, la sostituzione funzionerebbe comunque. No?
Però non comprendo bene il motivo per cui richiedere anche l'invertibilità, mi sembra una restizione in più che a conti fatti è piuttosto inutile, la sostituzione funzionerebbe comunque. No?
Puoi farla lo stesso ma non vale l'uguaglianza
Sì, certo, intendevo cosa la rendesse pragmaticamente inutile 
. In altre parole, non capisco dove la sfrutto nel cambio quella HP.
. In altre parole, non capisco dove la sfrutto nel cambio quella HP.
Guarda attentamente la dimostrazione e facci attenzione.
Ho capito, vi ringrazio
Credo di avere un paio di dubbi su questo argomento e vorrei poter continuare la discussione se possibile
1) la prima domanda che vi pongo è questa: il teorema richiede l'invertibilità di g(x) solo per gli integrali (che il mio prof chiama di seconda specie), quelli di prima specie non mi sembra nella dimostrazione si sfrutti tale ipotesi, infatti: $intf(g(x))g'(x)=int d/(dx)F(g(x))dx$ già mi dimostra il teorema.
2) Il secondo dubbio è sull'esempio portato, credo di non riuscire bene a individuare la funzione "interna", ossia se pongo mettiamo come diceva l'op $t=sinx$ allora dovrebbe esserci un f(t)=f(sinx), insomma dovrei avere una funzione del sinx ma di fatto non c'è. Va forse vista come $f(sinx)=1*sinx$?
Così mi tornerebbe perché: $intf(g(x))g'(x) dx=int 1*sinx cosx dx$ avrei $d/(dx)(1*sinx)=cosx=g'(x)$ e $f(sinx)=f(g(x))=1*sinx$
(ammettendo sia una sostituzuione possibile, ma insomma il dubbio funzionerebbe anche se dovessi sostituire il coseno, devo chiarirmi quale sia la funzione interna in questi casi)
3) vorrei infine aprire una domanda bonus che mi è sorta ragionando su sinx, quando io considero $f(x)=x$, secondo voi è corretto dire $f(x)=x=1*x$ così vedo $f(x)$ come $f(g(x))=f(t)$, cioè $t=1*x$ e $f(t)=1*x$, ora posso usare la chain rule: $(df)/(dt)*dt/(dx)=(d(1*x))/(dt)*(d(1*x))/(dx)=1*1=1$
Che è quello che ho appunto sfruttato per vedere f(sinx)=sinx come sunzione composta.
O mi sto incasinando
Vi ringrazio molto
1) la prima domanda che vi pongo è questa: il teorema richiede l'invertibilità di g(x) solo per gli integrali (che il mio prof chiama di seconda specie), quelli di prima specie non mi sembra nella dimostrazione si sfrutti tale ipotesi, infatti: $intf(g(x))g'(x)=int d/(dx)F(g(x))dx$ già mi dimostra il teorema.
2) Il secondo dubbio è sull'esempio portato, credo di non riuscire bene a individuare la funzione "interna", ossia se pongo mettiamo come diceva l'op $t=sinx$ allora dovrebbe esserci un f(t)=f(sinx), insomma dovrei avere una funzione del sinx ma di fatto non c'è. Va forse vista come $f(sinx)=1*sinx$?
Così mi tornerebbe perché: $intf(g(x))g'(x) dx=int 1*sinx cosx dx$ avrei $d/(dx)(1*sinx)=cosx=g'(x)$ e $f(sinx)=f(g(x))=1*sinx$
(ammettendo sia una sostituzuione possibile, ma insomma il dubbio funzionerebbe anche se dovessi sostituire il coseno, devo chiarirmi quale sia la funzione interna in questi casi)
3) vorrei infine aprire una domanda bonus che mi è sorta ragionando su sinx, quando io considero $f(x)=x$, secondo voi è corretto dire $f(x)=x=1*x$ così vedo $f(x)$ come $f(g(x))=f(t)$, cioè $t=1*x$ e $f(t)=1*x$, ora posso usare la chain rule: $(df)/(dt)*dt/(dx)=(d(1*x))/(dt)*(d(1*x))/(dx)=1*1=1$
Che è quello che ho appunto sfruttato per vedere f(sinx)=sinx come sunzione composta.
O mi sto incasinando
Vi ringrazio molto
(1) Sì, c'è un cambio di variabili in una direzione che richiede l'invertibilità e l'altro nell'altra direzione che non la richiede.
(2 e 3) Ogni funzione può essere scritta come la composta di sé stessa con la funzione identità $\text{Id}_A (x)=x$ (dove $A$ è il dominio di $\text{Id}$). Hai $g(x)=\sin x$, poi $g'(x)=\cos x$ ed $f(\sin x)=\sin x=(\text{Id} \circ \sin)(x)$. Non c'è bisogno della moltiplicazione per $1$. Basta che pensi, molto intuitivamente, che $\sin x$ è funzione di $\sin x$.
(2 e 3) Ogni funzione può essere scritta come la composta di sé stessa con la funzione identità $\text{Id}_A (x)=x$ (dove $A$ è il dominio di $\text{Id}$). Hai $g(x)=\sin x$, poi $g'(x)=\cos x$ ed $f(\sin x)=\sin x=(\text{Id} \circ \sin)(x)$. Non c'è bisogno della moltiplicazione per $1$. Basta che pensi, molto intuitivamente, che $\sin x$ è funzione di $\sin x$.
"Mephlip":
(2 e 3) Ogni funzione può essere scritta come la composta di sé stessa con la funzione identità $\text{Id}_A (x)=x$ (dove $A$ è il dominio di $\text{Id}$). Hai $g(x)=\sin x$, poi $g'(x)=\cos x$ ed $f(\sin x)=\sin x=(\text{Id} \circ \sin)(x)$. Non c'è bisogno della moltiplicazione per $1$. Basta che pensi, molto intuitivamente, che $\sin x$ è funzione di $\sin x$.
Inizialmente l'avevo pensata così, però poi mi sembrava di starmi facendo una pippa mentale. Ti ringrazio molto per avermi chiarito il dubbio.
Tra l'altro in effetti la moltiplicazione per uno è pure sbagliata credo, perché è una moltiplicazione di funzioni (una costante) e non una composizione (di cui invece necessito) sbaglio?
Grazie di nuovo e buon proseguimento!
Prego! Sì, va specificato $\circ$ perché in quel contesto di analisi $\cdot$ e $\circ$ hanno significati diversi. Infatti non stavo capendo cosa stessi facendo con l'$1$, ora mi è più chiaro . L'idea è giusta, è solo la notazione che non lo è.
. L'idea è giusta, è solo la notazione che non lo è.
Non ho seguito il thread. Ma questa dell'invertibilità nella regola della sostituzione è una cosa su cui ho battuto un sacco la testa svariati anni fa. L'esempio più classico che si possa fare è
\[
\int_{-1}^1 x^2\, dx, \]
che vale \(2/3\ne 0\). Se si potesse semplicemente sostituire \(x^2=t\), l'integrale si ridurrebbe a
\[
\int_1^1g(t)\, dt=0,\]
dove \(g\) è una qualche funzione di \(t\). Quindi $0=2/3$, assurdo. In conclusione, la risposta "da libro di testo" è che se la sostituzione non è invertibile allora non se ne fa niente.
Tuttavia, è vero che in pratica uno non va a controllare se una funzione è invertibile, quando applica una sostituzione. Nell'esempio precedente, ponendo \(x^2=t\) e tentando poi di risolvere \(x=x(t)\), uno si accorge subito che qualcosa non va. Mentre nell'esempio dell'OP
\[
\int_0^\pi \cos(x)\sin(x)\, dx, \]
la posizione \(t=\sin x\), pur se formalmente non accettabile, tuttavia arriva ad un risultato corretto. E infatti, nel fare i conti non si incontra nessun problema nel risolvere \(dt=\cos(x)\, dx\), cosicché l'integrale diventa
\[
\int_0^0 t\, dt=0.\]
Ora, ripeto, il fatto che i due estremi di integrazione coincidano già ci fa capire che abbiamo sbagliato dal punto di vista formale, e se andiamo ad un esame così il professore ci darà bacchettate sulle mani e ci butterà fuori. Ma il fatto che non abbiamo incontrato difficoltà nella sostituzione ci fa anche capire che il risultato, con tutta probabilità, sarà corretto e che dobbiamo solo trovare la maniera di formalizzarlo. (Nel caso specifico, la sostituzione \(x=\pi-t\) mostra subito che l'integrale è uguale a sé stesso cambiato di segno).
Spero che queste considerazioni "da veterano", pure se scritte di fretta, possano servire a qualcosa.
\[
\int_{-1}^1 x^2\, dx, \]
che vale \(2/3\ne 0\). Se si potesse semplicemente sostituire \(x^2=t\), l'integrale si ridurrebbe a
\[
\int_1^1g(t)\, dt=0,\]
dove \(g\) è una qualche funzione di \(t\). Quindi $0=2/3$, assurdo. In conclusione, la risposta "da libro di testo" è che se la sostituzione non è invertibile allora non se ne fa niente.
Tuttavia, è vero che in pratica uno non va a controllare se una funzione è invertibile, quando applica una sostituzione. Nell'esempio precedente, ponendo \(x^2=t\) e tentando poi di risolvere \(x=x(t)\), uno si accorge subito che qualcosa non va. Mentre nell'esempio dell'OP
\[
\int_0^\pi \cos(x)\sin(x)\, dx, \]
la posizione \(t=\sin x\), pur se formalmente non accettabile, tuttavia arriva ad un risultato corretto. E infatti, nel fare i conti non si incontra nessun problema nel risolvere \(dt=\cos(x)\, dx\), cosicché l'integrale diventa
\[
\int_0^0 t\, dt=0.\]
Ora, ripeto, il fatto che i due estremi di integrazione coincidano già ci fa capire che abbiamo sbagliato dal punto di vista formale, e se andiamo ad un esame così il professore ci darà bacchettate sulle mani e ci butterà fuori. Ma il fatto che non abbiamo incontrato difficoltà nella sostituzione ci fa anche capire che il risultato, con tutta probabilità, sarà corretto e che dobbiamo solo trovare la maniera di formalizzarlo. (Nel caso specifico, la sostituzione \(x=\pi-t\) mostra subito che l'integrale è uguale a sé stesso cambiato di segno).
Spero che queste considerazioni "da veterano", pure se scritte di fretta, possano servire a qualcosa.
@Mephlip
Diciamo che ora non è chiaro a me, perché con 1 non è una composizione ma una moltiplicazione in effetti. Come posso comporre con 1? Insomma mi sono auto creato un dubbio ahahh Come me la risolvo?
L'idea prima era voler avere una composizione, di fatto, però con 1 non è possibile direi... la soluzione era solo comporre con Id (come da te detto). Sbaglio? Come comporre con 1?
******************************************************************************************
@dissonance: molto chiaro, grazie per i vari esempi!
C'è un punto su cui vorrei discutere però: l'esempio dell'OP mi pare che non richieda invertibilità, infatti: $intf(g(x))g'(x)=int d/(dx)F(g(x))dx$ già mi dimostra il teorema (senza richieste su invertibilità o meno) e rientriamo proprio in questo caso no? Io ho g'(x) gia bello che pronto
"Mephlip":
Prego! Sì, va specificato $\circ$ perché in quel contesto di analisi $\cdot$ e $\circ$ hanno significati diversi. Infatti non stavo capendo cosa stessi facendo con l'$1$, ora mi è più chiaro
Diciamo che ora non è chiaro a me, perché con 1 non è una composizione ma una moltiplicazione in effetti. Come posso comporre con 1? Insomma mi sono auto creato un dubbio ahahh Come me la risolvo?
L'idea prima era voler avere una composizione, di fatto, però con 1 non è possibile direi... la soluzione era solo comporre con Id (come da te detto). Sbaglio? Come comporre con 1?
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@dissonance: molto chiaro, grazie per i vari esempi!
C'è un punto su cui vorrei discutere però: l'esempio dell'OP mi pare che non richieda invertibilità, infatti: $intf(g(x))g'(x)=int d/(dx)F(g(x))dx$ già mi dimostra il teorema (senza richieste su invertibilità o meno) e rientriamo proprio in questo caso no? Io ho g'(x) gia bello che pronto
@matos: si, è già tutto scritto nel mio post precedente.
@matos: Non sto capendo. La notazione $\cdot$, almeno in questo contesto, indica l'usuale moltiplicazione tra numeri reali e $1$ indica l'elemento neutro di questa operazione. Ossia hai $(\sin x) \cdot 1=1 \cdot (\sin x)=\sin x$ come moltiplicazione. La composizione, invece, significa brutalmente "valuta una funzione di una certa variabile sostituendo una funzione a quella variabile". Quindi, dato che $1$ è una funzione costante, essa non varia mai. Quindi, componendola con qualsiasi altra funzione, non cambia perché non dipende da alcuna variabile. Ossia, detta $k(x)=1$ la funzione costante $1$ in $\mathbb{R}$, per ogni funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ hai che $k(f(x))=1$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Forse ti stai confondendo con la notazione, a volte si usa $1$ per denotare l'identità. Ma la composizione e la moltiplicazione sono due operazioni diverse. Spero di aver chiarito!
@mephlip
Come spesso accade non so spiegarmi ^^
Tuttavia il punto nevralgico era molto più stupido:
In effetti non riuscivo a figurarmi una composizione con 1 perché dicevo "non c'è variabile, come diamine compongo?". Ma in realtà cadevo in fallo perché è una composizione a tutti gli effetti anche se non ho una "dipendenza" da variabile.
Di fatto rispetta la definizione formale: $f ◦ g :={(a, c) ∈ A × C | ∃b ∈ B, g (a) = b ∧ f (b) = c}$ di composizione anche 1.
Ringrazio per il vostro e tuo aiuto!
Come spesso accade non so spiegarmi ^^
Tuttavia il punto nevralgico era molto più stupido:
Quindi, componendola con qualsiasi altra funzione, non cambia perché non dipende da alcuna variabile.
In effetti non riuscivo a figurarmi una composizione con 1 perché dicevo "non c'è variabile, come diamine compongo?". Ma in realtà cadevo in fallo perché è una composizione a tutti gli effetti anche se non ho una "dipendenza" da variabile.
Di fatto rispetta la definizione formale: $f ◦ g :={(a, c) ∈ A × C | ∃b ∈ B, g (a) = b ∧ f (b) = c}$ di composizione anche 1.
Ringrazio per il vostro e tuo aiuto!
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