Integrale definito di una funzione dispari
Salve a tutti,
questo integrale: $ int_(-2)^(2) x^3sen^4xdx $ , è stato dimostrato senza alcun calcolo dicendomi che è l'integrale definito di una funzione dispari, e che essendo simmetrica rispetto all'origine le due aree sono identiche essendo definito tra -2 e 2 si annulla sempre e per forza. Immagino sia corretto. Mi era anche stato suggerito di risolverlo per parti, ma non finisce mai. Qualcuno può indicarmi un metodo più breve?
Grazie
questo integrale: $ int_(-2)^(2) x^3sen^4xdx $ , è stato dimostrato senza alcun calcolo dicendomi che è l'integrale definito di una funzione dispari, e che essendo simmetrica rispetto all'origine le due aree sono identiche essendo definito tra -2 e 2 si annulla sempre e per forza. Immagino sia corretto. Mi era anche stato suggerito di risolverlo per parti, ma non finisce mai. Qualcuno può indicarmi un metodo più breve?
Grazie
Risposte
Sia $f:[-a,a]\to\mathbb{R}$, $a>0$, una funzione integrabile e dispari.
Riscrivi l'integrale su $[-a,0]$ usando la sostituzione $y=-x$:
$\int_{-a}^0 f(x) dx = -\int_{a}^0 f(-y) dy = \int_0^a f(-y) dy$.
Adesso usa il fatto che $f$ è dispari, dunque $f(-y) = -f(y)$ per ogni $y\in [-a,a]$, per ottenere
$\int_{-a}^0 f(x) dx = - \int_0^a f(y) dy$
e concludere che
$\int_{-a}^a f = \int_{-a}^0 f + \int_0^a f = 0$.
Riscrivi l'integrale su $[-a,0]$ usando la sostituzione $y=-x$:
$\int_{-a}^0 f(x) dx = -\int_{a}^0 f(-y) dy = \int_0^a f(-y) dy$.
Adesso usa il fatto che $f$ è dispari, dunque $f(-y) = -f(y)$ per ogni $y\in [-a,a]$, per ottenere
$\int_{-a}^0 f(x) dx = - \int_0^a f(y) dy$
e concludere che
$\int_{-a}^a f = \int_{-a}^0 f + \int_0^a f = 0$.
"Rigel":
Sia $f:[-a,a]\to\mathbb{R}$, $a>0$, una funzione integrabile e dispari.
Riscrivi l'integrale su $[-a,0]$ usando la sostituzione $y=-x$:
$\int_{-a}^0 f(x) dx = -\int_{a}^0 f(-y) dy = \int_0^a f(-y) dy$.
Adesso usa il fatto che $f$ è dispari, dunque $f(-y) = -f(y)$ per ogni $y\in [-a,a]$, per ottenere
$\int_{-a}^0 f(x) dx = - \int_0^a f(y) dy$
e concludere che
$\int_{-a}^a f = \int_{-a}^0 f + \int_0^a f = 0$.
e questa è la dimostrazione un po' più corretta di come l'avevo spiegata io
E per parti? (avevo provato a farlo ma non finiva mai)
Per parti se vuoi ti fai i conti espliciti
Il vantaggio del ragionamento "teorico" è che lo puoi usare anche quando non puoi esplicitamente calcolare una primitiva in termini di funzioni elementari.
Il vantaggio del ragionamento "teorico" è che lo puoi usare anche quando non puoi esplicitamente calcolare una primitiva in termini di funzioni elementari.
"Rigel":
Per parti se vuoi ti fai i conti espliciti
Il vantaggio del ragionamento "teorico" è che lo puoi usare anche quando non puoi esplicitamente calcolare una primitiva in termini di funzioni elementari.
infatti ci ho rinunciato!Si il ragionamento teorico secondo il mio prof è quello corretto ma forse non altrettanto immediato, almeno per me!
Mille grazie per la puntualità delle risposte, come sempre!
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