Integrale definito da risolvere forse per parti
Salve,
ho questo integrale:
$\int_0^2e^(x ^3)x^5dx$ (se non si dovesse capire sarebbe e alla x alla 3) che ho riscritto come $\int_0^2e^(3x) x^5dx$
Questo mi è sembrato il classico caso da risolvere per parti dove ad ogni passaggio si abbassa di un grado il monomio $x^5$ e si lascia invariata la $e^(3x)$.
Il problema però è che scrivere tutte e 5 le applicazioni dell'integrazione per parti più la parte in cui vado a sostituire gli estremi di integrazione per calcolare l'integrale definito $[F(x)]_0^2$ porta a dei calcoli lunghissimi.
Dal momento che questa era una traccia di esame e non credo che il professore possa mettere un esercizio che richiede così tanti calcoli insensati con la conseguente perdita di tempo mi è sorto il dubbio che esista un modo molto più veloce e conciso per risolverlo. è così?
ho questo integrale:
$\int_0^2e^(x ^3)x^5dx$ (se non si dovesse capire sarebbe e alla x alla 3) che ho riscritto come $\int_0^2e^(3x) x^5dx$
Questo mi è sembrato il classico caso da risolvere per parti dove ad ogni passaggio si abbassa di un grado il monomio $x^5$ e si lascia invariata la $e^(3x)$.
Il problema però è che scrivere tutte e 5 le applicazioni dell'integrazione per parti più la parte in cui vado a sostituire gli estremi di integrazione per calcolare l'integrale definito $[F(x)]_0^2$ porta a dei calcoli lunghissimi.
Dal momento che questa era una traccia di esame e non credo che il professore possa mettere un esercizio che richiede così tanti calcoli insensati con la conseguente perdita di tempo mi è sorto il dubbio che esista un modo molto più veloce e conciso per risolverlo. è così?
Risposte
Occhio che $e^(x^3) != (e^x)^3$...
Ad ogni buon conto, senza saper né leggere né scrivere, io farei innanzitutto la sostituzione $u=x^3$ e solo dopo, se serve, un integralino per parti veloce veloce.
Ad ogni buon conto, senza saper né leggere né scrivere, io farei innanzitutto la sostituzione $u=x^3$ e solo dopo, se serve, un integralino per parti veloce veloce.
Grazie della celere risposta, ma se sostituisco $u=x^3$ come diventa $x^5$?
Prova a vedere $x^5$ come $x^2x^3$.
Ah non ci avevo pensato. Ora è tutto chiaro.
Quindi:
$u=x^3$
$du=3x^2dx$
moltiplico l'integrale per $3/3$ e ottengo
$1/3\inte^x^3x^3 3x^2dx$
che dopo la sostituzione diventa
$1/3\inte^u udu$
e qui mi basta fare una sola integrazione per parti e ho risolto
è corretto?
Quindi:
$u=x^3$
$du=3x^2dx$
moltiplico l'integrale per $3/3$ e ottengo
$1/3\inte^x^3x^3 3x^2dx$
che dopo la sostituzione diventa
$1/3\inte^u udu$
e qui mi basta fare una sola integrazione per parti e ho risolto
è corretto?
Correttissimo. Ricordati di cambiare anche gli estremi di integrazione, essendo l'integrale definito 
Grazie mille
Rimanendo in tema, ho questo integrale in cui ho lo stesso problema che credevo di avere con quello che ho postato:
$\int_-2^2x^4/e^x$
che ho trasformato in:
$\int_-2^2x^4e^-x$
Qua sono costretto ad applicare per parti 4 volte di seguito o c'è un modo per farlo in breve?
Rimanendo in tema, ho questo integrale in cui ho lo stesso problema che credevo di avere con quello che ho postato:
$\int_-2^2x^4/e^x$
che ho trasformato in:
$\int_-2^2x^4e^-x$
Qua sono costretto ad applicare per parti 4 volte di seguito o c'è un modo per farlo in breve?
No.
Ciao eccelsius,
Per il primo integrale, procedendo come ti è già stato suggerito da chi mi ha preceduto nella risposta, si trova
$ int e^(x^3) x^5 dx = 1/3 e^{x^3}(x^3 - 1) + c $
Pertanto si ha:
$ int_0^2 e^(x^3) x^5 dx = 1/3 [e^{x^3}(x^3 - 1)]_0^2 = 1/3 (1 + 7e^8) $
Per il secondo temo che non ci sia molto da fare se non ripetute integrazioni per parti. Si trova
$ \int x^4e^(-x) dx = - e^{-x}(x^4 + 4x^3 + 12x^2 + 24x + 24) + c $
Pertanto si ha:
$ \int_{-2}^2 x^4e^(-x) dx = - [e^{-x}(x^4 + 4x^3 + 12x^2 + 24x + 24)]_{-2}^2 = \frac{8(e^4 - 21)}{e^2} $
Altrimenti un'altra strada potrebbe essere quella di porre $I_n := \int x^n e^(-x) dx $ e tramite una sola integrazione per parti determinare la relazione di ricorrenza $I_n = - x^n e^{- x} + n I_{n - 1} $ e determinare poi gli integrali coi valori di $n $ che interessano partendo dall'integrale immediato $I_0 = \int x^0 e^- x dx = \int e^- x dx = - e^{- x} + c $
Per il primo integrale, procedendo come ti è già stato suggerito da chi mi ha preceduto nella risposta, si trova
$ int e^(x^3) x^5 dx = 1/3 e^{x^3}(x^3 - 1) + c $
Pertanto si ha:
$ int_0^2 e^(x^3) x^5 dx = 1/3 [e^{x^3}(x^3 - 1)]_0^2 = 1/3 (1 + 7e^8) $
Per il secondo temo che non ci sia molto da fare se non ripetute integrazioni per parti. Si trova
$ \int x^4e^(-x) dx = - e^{-x}(x^4 + 4x^3 + 12x^2 + 24x + 24) + c $
Pertanto si ha:
$ \int_{-2}^2 x^4e^(-x) dx = - [e^{-x}(x^4 + 4x^3 + 12x^2 + 24x + 24)]_{-2}^2 = \frac{8(e^4 - 21)}{e^2} $
Altrimenti un'altra strada potrebbe essere quella di porre $I_n := \int x^n e^(-x) dx $ e tramite una sola integrazione per parti determinare la relazione di ricorrenza $I_n = - x^n e^{- x} + n I_{n - 1} $ e determinare poi gli integrali coi valori di $n $ che interessano partendo dall'integrale immediato $I_0 = \int x^0 e^- x dx = \int e^- x dx = - e^{- x} + c $
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