Integrale definito da risolvere
[tex]\int_{1}^{3}x\log(1+|x^2-4|)[/tex]
Considerando il valore assoluto e che l'argomento è positivo se [tex]x\leq-2,x\geq2[/tex]
L'ho riscritto come:
[tex]\int_{2}^{3}x\log(x-3)dx[/tex]
Può andare?
Come integrare poi...per parti?
Si potrebbero scegliere [tex]f(x)=\log..[/tex] [tex]g(x)=\frac{x^2}{2}[/tex] ?
Considerando il valore assoluto e che l'argomento è positivo se [tex]x\leq-2,x\geq2[/tex]
L'ho riscritto come:
[tex]\int_{2}^{3}x\log(x-3)dx[/tex]
Può andare?
Come integrare poi...per parti?
Si potrebbero scegliere [tex]f(x)=\log..[/tex] [tex]g(x)=\frac{x^2}{2}[/tex] ?
Risposte
"Darèios89":
[tex]\int_{1}^{3}x\log(1+|x^2-4|)[/tex]
Considerando il valore assoluto e che l'argomento è positivo se [tex]x\leq-2,x\geq2[/tex]
L'ho riscritto come:
[tex]\int_{2}^{3}x\log(x-3)dx[/tex]
Ovviamente volevi scrivere $int_{2}^{3}xlog(x^2-3)dx$, inoltre devi anche considerare la parte di integrale tra $1$ e $2$.
Direi che va bene procedere per integrazione per parti.
Si ma se il valore assoluto è tale che l'argomento è positivo se [tex]x\leq -2,x\geq 2[/tex] la parte di estremi 1,2 qui come li considero?
All'interno di quell'intervallo il modulo è [tex]|x^2-4|=4-x^2[/tex].
Perchè?
l'argomento del valore assoluto dovrebbe essere positivo se [tex]x\geq2[/tex] negativo se [tex]x\leq-2[/tex] dunque in 1,2 non dovrebbe essere definito(non so come dirlo)
Poichè l'intervallo è 1,3 e sarà positivo se x>2 allora l'integrale sarà solo in quell'intervallo, perchè in 1,2 cambio di segno se dovrebbe essere negativo per x<-2?
l'argomento del valore assoluto dovrebbe essere positivo se [tex]x\geq2[/tex] negativo se [tex]x\leq-2[/tex] dunque in 1,2 non dovrebbe essere definito(non so come dirlo)
Poichè l'intervallo è 1,3 e sarà positivo se x>2 allora l'integrale sarà solo in quell'intervallo, perchè in 1,2 cambio di segno se dovrebbe essere negativo per x<-2?
Svolgi meglio la disequazione [tex]$x^2-4\geq0$[/tex]!
$|x^2-4| = x^2-4 $ se $x<=-2 $ e $x>= 2$
$|x^2-4| =4-x^2 $ se $-2
L'intervallo di integrazione è $[1,3] $ che va spezzato in quanto il modulo assume una espressione analitica diversa a seconda che si sia in
$[1,2] $ in cui si ha : $ 4-x^2 $
mentre in $[2,3]$ si ha : $x^2-4$.
Dovresti riguardare la definizione di modulo : la tua frase .... dunque in 1, 2 non dovrebbe essere definito .. mostra che qualcosa non ti è chiaro.
$|x^2-4| =4-x^2 $ se $-2
L'intervallo di integrazione è $[1,3] $ che va spezzato in quanto il modulo assume una espressione analitica diversa a seconda che si sia in
$[1,2] $ in cui si ha : $ 4-x^2 $
mentre in $[2,3]$ si ha : $x^2-4$.
Dovresti riguardare la definizione di modulo : la tua frase .... dunque in 1, 2 non dovrebbe essere definito .. mostra che qualcosa non ti è chiaro.
SI avete ragione, ho interpretato male il risultato della disequazione....:S
Non so perchè ma c'è qualcosa che non va.
Integrando per parti, considerando l'intervallo 2,3 se scelgo:
[tex]f(x)=\log(x^2-3),g(x)=\frac{x^2}{2}[/tex]
Allora mi si annulla tutto.diventa:
[tex]\intx\log(x^2-3)dx=\frac{x^2}{2}\log(x^2-3)-\int\frac{2x}{x^2-3}*\frac{x^2}{2}dx[/tex]
Reintegrando nuovamente in parti ottengo:
[tex]\intx\log(x^2-3)dx=\frac{x^2}{2}\log(x^2-3)-[\frac{x^2}{2}\log(x^2-3)-\int x\log(x^2-3)dx][/tex]
Già da qui mi sembra che in questo integrale dopo aver portato l'integrale da secondo a primo membro si annulli il termine dopo l'uguale....
Integrando per parti, considerando l'intervallo 2,3 se scelgo:
[tex]f(x)=\log(x^2-3),g(x)=\frac{x^2}{2}[/tex]
Allora mi si annulla tutto.diventa:
[tex]\intx\log(x^2-3)dx=\frac{x^2}{2}\log(x^2-3)-\int\frac{2x}{x^2-3}*\frac{x^2}{2}dx[/tex]
Reintegrando nuovamente in parti ottengo:
[tex]\intx\log(x^2-3)dx=\frac{x^2}{2}\log(x^2-3)-[\frac{x^2}{2}\log(x^2-3)-\int x\log(x^2-3)dx][/tex]
Già da qui mi sembra che in questo integrale dopo aver portato l'integrale da secondo a primo membro si annulli il termine dopo l'uguale....
Secondo me stai facendo un pò di confusione. Dovresti scrivere più correttamente gli integrali; comunque ricapitolando:
$\int_1^3 x \log(1+|x^2-4|)\dx=\int_1^2 x \log(5-x^2)\dx+\int_2^3 x \log(x^2-3)\dx$
Inoltre:
$\int_2^3 x\ \log(x^2-3)\dx=\frac{x^2}{2} \log(x^2-3) |_2^3 -\int_2^3 \frac{x^2}{2}\ \frac{2x}{x^2-3}\dx=\frac{9}{2} \log(6)- \int_2^3 \frac{x^3}{x^2-3}$
In seguito, effettuando la divisione tra polinomi otterrai che:
$\frac{x^3}{x^2-3}= x+\frac{3x}{x^2-3}$ i cui integrali sono immediati!
$\int_1^3 x \log(1+|x^2-4|)\dx=\int_1^2 x \log(5-x^2)\dx+\int_2^3 x \log(x^2-3)\dx$
Inoltre:
$\int_2^3 x\ \log(x^2-3)\dx=\frac{x^2}{2} \log(x^2-3) |_2^3 -\int_2^3 \frac{x^2}{2}\ \frac{2x}{x^2-3}\dx=\frac{9}{2} \log(6)- \int_2^3 \frac{x^3}{x^2-3}$
In seguito, effettuando la divisione tra polinomi otterrai che:
$\frac{x^3}{x^2-3}= x+\frac{3x}{x^2-3}$ i cui integrali sono immediati!
Non ho capito dove dici, Inoltre, dopo il logaritmo come salta fuori quel [tex]\frac{3}{2}[/tex]
"Darèios89":
Non ho capito dove dici, Inoltre, dopo il logaritmo come salta fuori quel [tex]\frac{3}{2}[/tex]
io non ho scritto mai $\frac{3}{2}$ al massimo ho scritto $\frac{x^2}{2} \log(x^2-3) |_2^3$ dove quello che tu intendi per $\frac{3}{2}$ indica, in realtà, che l'espressione precedente deve essere calcolata tra 2 e 3 ovvero detta $h(x)=\frac{x^2}{2} \log(x^2-3)$ risulta che $\frac{x^2}{2} \log(x^2-3) |_2^3=h(3)-h(2)$. Mi sembra strano che tu non conosca queste espressioni!
A me questa prima parte mi risulta:
[tex]\frac{9}{2}\log(6)-\frac{5}{2}-\frac{3\log(6)}{2}+c[/tex]
Può essere?
[tex]\frac{9}{2}\log(6)-\frac{5}{2}-\frac{3\log(6)}{2}+c[/tex]
Può essere?
"Darèios89":
A me questa prima parte mi risulta:
[tex]\frac{9}{2}\log(6)-\frac{5}{2}-\frac{3\log(6)}{2}+c[/tex]
Può essere?
tolta la costante $c$, quello che hai postato è il risultato del tuo integrale tra 2 e 3. Per avere il risultato dell'esercizio devi sommare il valore dell'integrale tra 1 e 2....la costante $c$ è una costante che si aggiunge nel caso di integrali indefiniti, poiché se $f(x)$ è una primitiva, lo è anche $f(x)+c$. Credo che una ripassata alla teoria ti sia necessaria, anche se credo non ci sia stata nemmeno la prima passata
Ok , va bene.
C'è stata, c'è stata, solo che gli integrali non mi vanno proprio giù, e detesto la gente che li preferisce a successioni e serie.
Grazie mille!
anche se credo non ci sia stata nemmeno la prima passata
C'è stata, c'è stata, solo che gli integrali non mi vanno proprio giù, e detesto la gente che li preferisce a successioni e serie.
Grazie mille!
P.S. quindi una cosa che mi sta venendo in mente....il risultato sarà solo numerico, non dovrò scrivere +c perchè questo è un integrale definito e quindi non l'insieme delle primitive di una funzione, giusto?
"Darèios89":
P.S. quindi una cosa che mi sta venendo in mente....il risultato sarà solo numerico, non dovrò scrivere +c perchè questo è un integrale definito e quindi non l'insieme delle primitive di una funzione, giusto?
perfetto!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo