Integrale definito con sostituzione

[endurance1]

salve,

il seguente integrale mi sta creando non pochi problemi:
$\int_{pi/4}^{0} sqrt(x) sqrt(1-x) dx$

ho posto $sqrt(1-x)=t$ ; $1-x=t^2$ ; $x=1-t^2$ ; $dx=-2t dt$

quindi ho $\int_{pi/4}^{0} sqrt(1-t^2) (-2t^2) dt$

poi lo risolvo per parti e pongo :
$f(x) = t;f'(x)=1; g'(x)dx=(1-t^2)^(1/2) (-2t);g(x)=2/3(1-t^2)^(3/2)$

così ho $2/3(1-t^2sqrt(1-t)^2)-$$\int 2/3((1-t^2))^(3/2) dt$

poi qui mi blocco, qualkuno può darmi qualke aiuto su questo tipo di integrale con la doppia radice?
grazie

[Lord K]

Hai l'integrale:

$int_(pi/4)^0 sqrt(x)*sqrt(1-x)dx$

che è uguale a:

$- int_0^(pi/4) sqrt(x)*sqrt(1-x)dx$

opero la tua stessa sostituzione:

$sqrt(1-x) = t rightarrow dx=-2tdt$

e modifico gli estremi di integrazione:

$- int_1^(1/2*sqrt(4-pi)) sqrt(1-t^2)*t*2t dt$

per parti considerando $f(x) = t$ e $g'(x)=d(2/3*(1-t^2)^(3/2))$

$- int_1^(1/2*sqrt(4-pi)) sqrt(1-t^2)*t*2t dt = - [2/3*(1-t^2)^(3/2)*t]_1^(1/2*sqrt(4-pi)) + 2/3*int_1^(1/2*sqrt(4-pi)) (1-t^2)^(3/2) dt$

ora occupiamoci del secondo integrale:

$int_1^(1/2*sqrt(4-pi)) (1-t^2)^(3/2) dt$

e sostituisco con (attenzione che $arcsin(1/2*sqrt(4-pi))$ esiste!!!)

$t = sin theta rightarrow d t = cos theta d theta$

e quindi:

$int_(pi/2)^arcsin(1/2*sqrt(4-pi)) (cos theta)^3*cos theta d theta$

da qui proporrei ancora per parti con (seguendo il tuo tipo di notazione):

$f(theta) = cos(theta)^3$ e $g'(theta) = cos theta$

ottengo:

$int_(pi/2)^arcsin(1/2*sqrt(4-pi)) (cos theta)^3*cos theta d theta = [sin theta*(cos theta)^3]_(pi/2)^arcsin(1/2*sqrt(4-pi)) - 3 int_(pi/2)^arcsin(1/2*sqrt(4-pi)) (cos theta)^2*sin theta d theta = [sin theta*(cos theta)^3]_(pi/2)^arcsin(1/2*sqrt(4-pi)) + [(cos theta)^3]_(pi/2)^arcsin(1/2*sqrt(4-pi)) $

Salvo errori dovremmo esserci. I dettagli dei conti te li lascio volentieri ^_^