Integrale definito con parametro
Salve, la mia insegnante di analisi sembra mettere sempre un esercizio sugli integrali col parametro e dire per quali valori converge e il motivo
[tex]\int\frac{e^{-3 \alpha x}sin3x}{x^{\alpha}\sqrt[5]{2-x}
}[/tex]
con l'integrale che va da 0 a +infinito
non ho la minima idea di come iniziare con questo tipo di integrali per cui ringrazio per qualsiasi aiuto.
[tex]\int\frac{e^{-3 \alpha x}sin3x}{x^{\alpha}\sqrt[5]{2-x}
}[/tex]
con l'integrale che va da 0 a +infinito
non ho la minima idea di come iniziare con questo tipo di integrali per cui ringrazio per qualsiasi aiuto.
Risposte
I punti critici sono $0,2, +oo $.
Nell'intorno di $x=0 $ la funzione integranda $f(x) ~ 1*3x/(x^a*root(5)(2 ))= k/x^(a-1) $ e quindi converge se $ a-1 <1 rarr a<2$.
Continua l'analisi per gli altri 2 punti.
Nell'intorno di $x=0 $ la funzione integranda $f(x) ~ 1*3x/(x^a*root(5)(2 ))= k/x^(a-1) $ e quindi converge se $ a-1 <1 rarr a<2$.
Continua l'analisi per gli altri 2 punti.
ciao, innanzitutto grazie per aver risposto, ho capito il ragionamento che hai fatto, poi ho provato a fare la sostituzione con 2 ma mi blocco a [tex]\sqrt[5]{2-x}[/tex]
invece per quanto riguarda l'infinito mi trovo:[tex]\frac{e^{-3ax}}{x^{a}\sqrt[5]{2-x}}[/tex] e neanche da qui riesco ad andare avanti.. grazie del tuo aiuto
invece per quanto riguarda l'infinito mi trovo:[tex]\frac{e^{-3ax}}{x^{a}\sqrt[5]{2-x}}[/tex] e neanche da qui riesco ad andare avanti.. grazie del tuo aiuto
Per $x rarr 2 $ hai che $f(x) ~(e^(-6a)*sen6)/(2^a*(2-x)^(1/5)) $ e quindi $~ k/(2-x)^(1/5) $ ed essendo $ 1/5 < 1 $ .....
per $x rarr +oo $ ti conviene distinguere i casi $ a>0, a<0 $
per $x rarr +oo $ ti conviene distinguere i casi $ a>0, a<0 $
ah ok, quindi il [tex]2^{a}[/tex] del denominatore si porta al numeratore ed indichiamo il tutto con k.
poi facendo i conti a +00 come mi hai detto tu distinguendo i casi, per a>0 mi viene [tex]\frac{e^{-3x}}{x^{a}}[/tex] quindi il lim mi viene +00
per quanto riguardo invece a<0 mi viene [tex]\frac{e^{3x}}{x^{-a}}[/tex] e quindi sempre +00
ricapitolando per x->0 converse se a<2 , per x-> 2 converge per qualsiasi valore di a mentre per x->+00 non converge per nessun valore, giusto?
poi facendo i conti a +00 come mi hai detto tu distinguendo i casi, per a>0 mi viene [tex]\frac{e^{-3x}}{x^{a}}[/tex] quindi il lim mi viene +00
per quanto riguardo invece a<0 mi viene [tex]\frac{e^{3x}}{x^{-a}}[/tex] e quindi sempre +00
ricapitolando per x->0 converse se a<2 , per x-> 2 converge per qualsiasi valore di a mentre per x->+00 non converge per nessun valore, giusto?
I ) $ x rarr 2 $ poiché l'espressione $ (e^(-6a)*sen6)/(2^a )$ è un numero definito lo indico con $k $ per semplicità.
L'unico fattore critico della funzione integranda è$1/(2-x)^(1/5) $ che tende a $oo $ ma come ci tende ?
E' del tutto analogo al caso classico $int_0^1 1/x^a dx$ , integrale che converge se e solo se $a < 1 $ OK ?
Quindi il caso $int _b^c 1/(x-b)^a dx $ converge (per $x rarr b $) se $a < 1 $.Nel nostro caso $a =1/5 < 1 $ quindi converge.
Questo è il caso in cui la funzione integranda ha , nel dominio di integrazione un punto in cui non è continua e tende a $oo $.
II )
L'unico fattore critico della funzione integranda è$1/(2-x)^(1/5) $ che tende a $oo $ ma come ci tende ?
E' del tutto analogo al caso classico $int_0^1 1/x^a dx$ , integrale che converge se e solo se $a < 1 $ OK ?
Quindi il caso $int _b^c 1/(x-b)^a dx $ converge (per $x rarr b $) se $a < 1 $.Nel nostro caso $a =1/5 < 1 $ quindi converge.
Questo è il caso in cui la funzione integranda ha , nel dominio di integrazione un punto in cui non è continua e tende a $oo $.
II )
si, ho sbagliato. Quindi per x->2 l'integrale converge mentre gli altri due integrali che ho fatto sono giusti?
II) $ x rarr oo $ , questo è il caso di dominio di integrazione infinito .Se la funzione integranda tende a $0 $ e ci tende con " sufficiente " rapidità allora l'integrale convergerà.
Ricordo che $ int_1^(+oo) 1/x^a dx $ converge se $a > 1 $.
Nel caso nostro distinguiamo i due casi
$ a > 0 $ allora la funzione integranda ~ $(sen 3x) /(e^(3ax)*x^a*root(5) (2-x))$ ; il numeratore oscilla tra 1 e -1 , non ci interessa...
la funzione per $x rarr +oo $ tende a $0 $ e ci tende con " enorme " rapidità " perché al denominatore abbiamo la funzione esponenziale che va all'$oo $ più rapidamente di qualsiais potenza della $x $ , come dire il denominatore è $x^a $ con $ a $maggiore maggiore di $ 1 $ quindi l'integrale converge .
$ a < 0 $ ti lascio da discutere...
P.S. Che CdL stai seguendo ?
Ricordo che $ int_1^(+oo) 1/x^a dx $ converge se $a > 1 $.
Nel caso nostro distinguiamo i due casi
$ a > 0 $ allora la funzione integranda ~ $(sen 3x) /(e^(3ax)*x^a*root(5) (2-x))$ ; il numeratore oscilla tra 1 e -1 , non ci interessa...
la funzione per $x rarr +oo $ tende a $0 $ e ci tende con " enorme " rapidità " perché al denominatore abbiamo la funzione esponenziale che va all'$oo $ più rapidamente di qualsiais potenza della $x $ , come dire il denominatore è $x^a $ con $ a $maggiore maggiore di $ 1 $ quindi l'integrale converge .
$ a < 0 $ ti lascio da discutere...
P.S. Che CdL stai seguendo ?
per a<0 abbiamo f(x)~ [tex]\frac{x^{a}e^{3ax}sen3x}{\sqrt[5]{2-x}}[/tex]
quindi come prima il sen non ci interessa e abbiamo che il numeratore prevale sul denominatore come grado di infito e quindi
f(x) --> +00
quindi come prima il sen non ci interessa e abbiamo che il numeratore prevale sul denominatore come grado di infito e quindi
f(x) --> +00
ah un'ultima cosa, quindi un integrale nella forma 1/x^a converge se a>1 se x-> +00 mentre converge se a<1 per x->0 giusto?
"norius":
ah un'ultima cosa, quindi un integrale nella forma 1/x^a converge se a>1 se x-> +00 mentre converge se a<1 per x->0 giusto?
Sì corretto, però dovresti aprire un libro o delle dispense per renderti esattamente conto del perché.
"norius":
per a<0 abbiamo f(x)~ [tex]\frac{x^{a}e^{3ax}sen3x}{\sqrt[5]{2-x}}[/tex]
quindi come prima il sen non ci interessa e abbiamo che il numeratore prevale sul denominatore come grado di infito e quindi
f(x) --> +00
E quindi diverge, al numeratore hai una esponenziale che tende a $+oo $ e quindi l'integrale non può convergere .Ora per concludere l'esercizio devi mettere assieme i vari mattoni e concludere per quali valori di $ a $ l'integrale improprio dato converge.
Grazie mille !!
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