Integrale definito con modulo
salve a tutti, tra qualche giorno ho l'esame di analisi 1. Facendo esercizi vari ho trovato questo integrale ma non so come risolvere, qualcuno saprebbe spiegarmi come si fa?
Grazie!
Si determini il valore dell'integrale $int_(-3/2)^0 (x+1)|log(2+x)| "d"x$.
Grazie!
Si determini il valore dell'integrale $int_(-3/2)^0 (x+1)|log(2+x)| "d"x$.
Risposte
Beh, comincia ad esplicitare il valore assoluto.
Com'è definita per casi la $f$?
Com'è definita per casi la $f$?
Ciao sofia123,
Un paio di cosette prima di risponderti...
Innanzitutto modifica il titolo in tutto minuscolo: il maiuscolo equivale ad urlare nella netiquette...
Poi dovresti rimuovere quella brutta immagine dall'OP ed evitare di postare immagini in futuro, perché con l'andare del tempo potrebbero sparire rendendo il post poco significativo. Dato che sei ai tuoi primi messaggi, per questa volta ti scrivo io come avresti dovuto postare:
Esercizio 5
Sia $f(x) = (x + 1) |log(2 + x)| $
Si determinino:
1.
2.
3.
4. Il valore dell'integrale $\int_{- 3/2}^0 f(x) \text{d}x $
Se farai quanto sopra, poi ti prometto che ti rispondo...
Un paio di cosette prima di risponderti...
Innanzitutto modifica il titolo in tutto minuscolo: il maiuscolo equivale ad urlare nella netiquette...
Poi dovresti rimuovere quella brutta immagine dall'OP ed evitare di postare immagini in futuro, perché con l'andare del tempo potrebbero sparire rendendo il post poco significativo. Dato che sei ai tuoi primi messaggi, per questa volta ti scrivo io come avresti dovuto postare:
Esercizio 5
Sia $f(x) = (x + 1) |log(2 + x)| $
Si determinino:
1.
2.
3.
4. Il valore dell'integrale $\int_{- 3/2}^0 f(x) \text{d}x $
[b]Esercizio 5[/b]
Sia $f(x) = (x + 1) |log(2 + x)| $
Si determinino:
1.
2.
3.
4. Il valore dell'integrale $\int_{- 3/2}^0 f(x) \text{d}x $
Se farai quanto sopra, poi ti prometto che ti rispondo...
non lo sapevo, grazie mille! così può andare bene?
Perfetto, brava, anche se poi ho notato che è intervenuto anche gugo82 a sistemare le cose...
Tanto per cominciare osserverei che per $x = - 1 $ la funzione proposta si annulla, mentre per $x > - 1 $ il logaritmo è positivo, quindi puoi tranquillamente omettere il modulo, e la funzione anche; invece per $- 3/2 <= x < - 1 $ la funzione proposta è negativa. Dunque si ha:
$ \int_{- 3/2}^0 f(x) \text{d}x = \int_{- 3/2}^{- 1} - (x + 1)log(2 + x) \text{d}x + \int_{- 1}^0 (x + 1) log(2 + x) \text{d}x $
Per risolvere gli integrali definiti passerei a risolvere quello indefinito dopo aver posto $t := 2 + x \implies t - 1 = x + 1 $ ed integrando poi per parti.
Tanto per cominciare osserverei che per $x = - 1 $ la funzione proposta si annulla, mentre per $x > - 1 $ il logaritmo è positivo, quindi puoi tranquillamente omettere il modulo, e la funzione anche; invece per $- 3/2 <= x < - 1 $ la funzione proposta è negativa. Dunque si ha:
$ \int_{- 3/2}^0 f(x) \text{d}x = \int_{- 3/2}^{- 1} - (x + 1)log(2 + x) \text{d}x + \int_{- 1}^0 (x + 1) log(2 + x) \text{d}x $
Per risolvere gli integrali definiti passerei a risolvere quello indefinito dopo aver posto $t := 2 + x \implies t - 1 = x + 1 $ ed integrando poi per parti.
grazie!
\(\displaystyle \int{\left(x+1\right)\,\ln\left(x+2\right)}{\;\mathrm{d}x}=\dfrac{x^{2}\,\ln\left(x+2\right)}{2}+x\,\ln\left(x+2\right)-\dfrac{x^{2}}{4}+C \)
\(\displaystyle \int{\left(x+1\right)\,\left|\ln\left(x+2\right)\right|}{\;\mathrm{d}x}=\\=\dfrac{x^{2}\,\ln\left(x+2\right)\,\operatorname{sgn}\left(\ln\left(x+2\right)\right)}{2}+x\,\ln\left(x+2\right)\,\operatorname{sgn}\left(\ln\left(x+2\right)\right)-\dfrac{x^{2}\,\operatorname{sgn}\left(\ln\left(x+2\right)\right)}{4}+C=\\= \dfrac{x^2\,\left|\ln\left(x+2\right)\right|}{2}+x\,\left|\ln\left(x+2\right)\right| - \dfrac{x^2\,\left|\log\left(x+2\right)\right|}{4\,\ln\left(x+2\right)} + C \)
\(\displaystyle \int{\left(x+1\right)\,\left|\ln\left(x+2\right)\right|}{\;\mathrm{d}x}=\\=\dfrac{x^{2}\,\ln\left(x+2\right)\,\operatorname{sgn}\left(\ln\left(x+2\right)\right)}{2}+x\,\ln\left(x+2\right)\,\operatorname{sgn}\left(\ln\left(x+2\right)\right)-\dfrac{x^{2}\,\operatorname{sgn}\left(\ln\left(x+2\right)\right)}{4}+C=\\= \dfrac{x^2\,\left|\ln\left(x+2\right)\right|}{2}+x\,\left|\ln\left(x+2\right)\right| - \dfrac{x^2\,\left|\log\left(x+2\right)\right|}{4\,\ln\left(x+2\right)} + C \)
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