Integrale definito con logaritmo e valore assoluto

[stranamentemate]

$\int_{0}^{2} ln(|x^2-1|+1) =\int_{0}^{1} ln (2-x^2) +\int_{1}^{2} ln (x^2)$

non capisco come si possa spezzettare l'integrale in quel modo e quindi a specificare il segno dell'argomento del modulo e diventare $ln (2-x^2)$ nel primo integrale e $ln (x^2)$ nel secondo.

il logaritmo esiste per valori maggiori a 0 non dovrebbe comunque essere spezzetato così?:

$\int_{0}^{2} ln(|x^2-1|+1) =\int_{0}^{1} ln(|x^2-1|+1) +\int_{1}^{2} ln(|x^2-1|+1)$

[ciampax]

L'argomento del modulo $x^2-1$ è positivo o nullo per $x\le -1,\ x\ge 1$, mentre il logaritmo di per sé è sempre definito perché $|x^2-1|+1\ge 1$. Poiché quando l'argomento del modulo è positivo puoi scrivere $|x^2-1|=x^2-1$ e quando è negativo $|x^2-1|=-x^2+1$, viene fuori quello che hai scritto.

[onlyReferee]

Ciao stranamentemate
E' molto semplice: basta che espliciti la definizione dell'espressione in modulo. In particolare si ha:
\[
|x^2 - 1| =
\begin{cases}
x^2 - 1 \quad \text{ se } x^2 - 1 \ge 0\\
-x^2 + 1 \quad \text{ se } x^2 - 1 < 0
\end{cases}
\]
che scritta in maniera più esplicita diventa:
\[
|x^2 - 1| =
\begin{cases}
x^2 - 1 \quad \text{ se } x \le - 1 \vee x \ge 1\\
-x^2 + 1 \quad \text{ se } - 1 < x < 1
\end{cases}
\]
Pertanto l'integrale può essere spezzato rispetto agli intervallo $0-1$ ed $1-2$ come nella prima formula che hai scritto.