Integrale definito con logaritmo
Salve, sono bloccato da un pò di tempo col seguente integrale:
\(\displaystyle \int^2_1{\frac{ (2x-6) \log(x)}{(x^2-6x+10)^2}} \)
Istintivamente ho provato per sostituzione notando che la derivata di \(\displaystyle(x^2-6x+10) \) risulta essere proprio \(\displaystyle {2x-6} \).
Assumendo \(\displaystyle(x^2-6x+10) = y \) e \(\displaystyle {2x-6} = dy \)
Riscrivendo il logaritmo mi ritroverei con qualcosa tipo:
\(\displaystyle \int^2_1{\frac{ (dy) \log(?)}{(y)^2}} \)
A questo punto non capisco cosa fare per il logaritmo che risulta essere ancora nella sua forma "x".
Ringrazio chiunque riesca a farmi capire come andare avanti.
\(\displaystyle \int^2_1{\frac{ (2x-6) \log(x)}{(x^2-6x+10)^2}} \)
Istintivamente ho provato per sostituzione notando che la derivata di \(\displaystyle(x^2-6x+10) \) risulta essere proprio \(\displaystyle {2x-6} \).
Assumendo \(\displaystyle(x^2-6x+10) = y \) e \(\displaystyle {2x-6} = dy \)
Riscrivendo il logaritmo mi ritroverei con qualcosa tipo:
\(\displaystyle \int^2_1{\frac{ (dy) \log(?)}{(y)^2}} \)
A questo punto non capisco cosa fare per il logaritmo che risulta essere ancora nella sua forma "x".
Ringrazio chiunque riesca a farmi capire come andare avanti.
Risposte
Ciao Utente920, benvenut* sul forum!
Ti conviene integrare direttamente per parti, ricavare $x$ in funzione di $y$ ti fa comparire una radice nel logaritmo e non sembra migliorare molto le cose. Hai correttamente osservato che $2x-6$ è la derivata di $x^2-6x+10$, quindi integra $\frac{2x-6}{(x^2-6x+10)^2}$ e deriva $\log x$.
Ti conviene integrare direttamente per parti, ricavare $x$ in funzione di $y$ ti fa comparire una radice nel logaritmo e non sembra migliorare molto le cose. Hai correttamente osservato che $2x-6$ è la derivata di $x^2-6x+10$, quindi integra $\frac{2x-6}{(x^2-6x+10)^2}$ e deriva $\log x$.
vabbè si farà per parti, la derivata di \(-\frac 1f\) è proprio \(\frac{f'}{f^2}\)...
$ int_1^2 (2x-6) /(x^2-6x+10)^2*logx dx= [1/(3 (x^2-6x+10))*logx]_1^2-1/3int_1^2 1/(x(x^2-6x+10)) dx $E per parti? Prendendo come fattore finito il logaritmo, visto che hai notato che la derivata di \(\displaystyle(x^2-6x+10) \) risulta essere proprio \(\displaystyle {2x-6} \).
$int_1^2 (2x-6) /(x^2-6x+10)^2*logx dx= [-1/(3 (x^2-6x+10))*logx]_1^2+1/3int_1^2 1/(x(x^2-6x+10)) dx$
$int_1^2 (2x-6) /(x^2-6x+10)^2*logx dx= [-1/(3 (x^2-6x+10))*logx]_1^2+1/3int_1^2 1/(x(x^2-6x+10)) dx$
Ciao Utente920,
Comunque anche la tua idea iniziale di porre $y = x^2-6x+10 \implies \text{d}y = (2x - 6) \text{d}x $ non era malvagia, almeno in partenza, solo che poi avresti dovuto trovare $x$ in funzione di $y$:
$x^2 - 6x + 10 - y = 0 $
$(x - 3)^2 + 1 - y = 0 $
$x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 10 + y} = 3 \pm \sqrt{y - 1} $
Ora per $x = 1 $ si ha $y = 5$, per $x = 2 $ si ha $y = 2$, quindi la soluzione dell'equazione di secondo grado da prendere in considerazione è quella col segno negativo, cioè $x = 3 - \sqrt{y - 1} $.
Dunque si ha:
$\int_1^2 \frac{ (2x-6) log(x)}{(x^2-6x+10)^2} \text{d}x = \int_5^2 \frac{log(3 - \sqrt{y - 1})}{y^2} \text{d}y $
Il vero problema è che questo integrale in $y$ è più brutto di quello di partenza, sicché io passerei direttamente all'integrazione per parti dell'integrale indefinito corrispondente a quello di partenza:
$\int \frac{(2x-6) log(x)}{(x^2-6x+10)^2} \text{d}x = 3/10 arctan(x - 3) + [1/10 - 1/((x - 3)^2 + 1)]log|x| - 1/20 log[(x - 3)^2 + 1] + c $
Sicché salvo errori si ha:
$\int_1^2 \frac{ (2x-6) log(x)}{(x^2-6x+10)^2} \text{d}x = $
$ = [3/10 arctan(x - 3) + [1/10 - 1/((x - 3)^2 + 1)]log|x| - 1/20 log[(x - 3)^2 + 1]]_1^2 = $
$ = - 3/10 arctan(1) + [1/10 - 1/2]log2 - 1/20 log2 + 3/10 arctan(2) + 1/20 log5 = $
$ = 3/10[arctan(2) - arctan(1)] - 1/20 log(512/5) = $
$ = 3/40[4 arctan(2) - \pi] - 1/20 log(512/5) $
Comunque anche la tua idea iniziale di porre $y = x^2-6x+10 \implies \text{d}y = (2x - 6) \text{d}x $ non era malvagia, almeno in partenza, solo che poi avresti dovuto trovare $x$ in funzione di $y$:
$x^2 - 6x + 10 - y = 0 $
$(x - 3)^2 + 1 - y = 0 $
$x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 10 + y} = 3 \pm \sqrt{y - 1} $
Ora per $x = 1 $ si ha $y = 5$, per $x = 2 $ si ha $y = 2$, quindi la soluzione dell'equazione di secondo grado da prendere in considerazione è quella col segno negativo, cioè $x = 3 - \sqrt{y - 1} $.
Dunque si ha:
$\int_1^2 \frac{ (2x-6) log(x)}{(x^2-6x+10)^2} \text{d}x = \int_5^2 \frac{log(3 - \sqrt{y - 1})}{y^2} \text{d}y $
Il vero problema è che questo integrale in $y$ è più brutto di quello di partenza, sicché io passerei direttamente all'integrazione per parti dell'integrale indefinito corrispondente a quello di partenza:
$\int \frac{(2x-6) log(x)}{(x^2-6x+10)^2} \text{d}x = 3/10 arctan(x - 3) + [1/10 - 1/((x - 3)^2 + 1)]log|x| - 1/20 log[(x - 3)^2 + 1] + c $
Sicché salvo errori si ha:
$\int_1^2 \frac{ (2x-6) log(x)}{(x^2-6x+10)^2} \text{d}x = $
$ = [3/10 arctan(x - 3) + [1/10 - 1/((x - 3)^2 + 1)]log|x| - 1/20 log[(x - 3)^2 + 1]]_1^2 = $
$ = - 3/10 arctan(1) + [1/10 - 1/2]log2 - 1/20 log2 + 3/10 arctan(2) + 1/20 log5 = $
$ = 3/10[arctan(2) - arctan(1)] - 1/20 log(512/5) = $
$ = 3/40[4 arctan(2) - \pi] - 1/20 log(512/5) $
Grazie per tutte le risposte e i consigli dati. Sbattendoci un pò la testa ho risolto (per quanto concerne l'indefinito) con
\(\displaystyle \int \frac{(2x-6)ln(x)}{x^2-6x+10} = - \frac{\ln(x)}{x^2-6x+10} +\frac{1}{10}ln(x)-\frac{1}{20} ln(x-3)^2 \frac{3}{10}\arctan(x+3) + C \)
Sperando di non essermi perso nulla per strada ed eventuali segni.
La mia difficoltà è stata principalmente nel mio intestardirmi nel voler porre \(\displaystyle y = x^2-6x+10 \) e non sapere come uscirne con il log.
A seguire alcuni problemi con la frazione parziale relativa al "secondo" integrale quale
\(\displaystyle \int \frac{1}{x(x^2-6x+10)}dx\)
risolto alla fine con
\(\displaystyle \frac{1}{10x} + \frac{-x+6}{10(x^2-6x+10)} \)
da cui ne ho ricavato i due integrali divisi e proceduto col risultato scritto sopra.
Ancora grazie per l'aiuto!
\(\displaystyle \int \frac{(2x-6)ln(x)}{x^2-6x+10} = - \frac{\ln(x)}{x^2-6x+10} +\frac{1}{10}ln(x)-\frac{1}{20} ln(x-3)^2 \frac{3}{10}\arctan(x+3) + C \)
Sperando di non essermi perso nulla per strada ed eventuali segni.
La mia difficoltà è stata principalmente nel mio intestardirmi nel voler porre \(\displaystyle y = x^2-6x+10 \) e non sapere come uscirne con il log.
A seguire alcuni problemi con la frazione parziale relativa al "secondo" integrale quale
\(\displaystyle \int \frac{1}{x(x^2-6x+10)}dx\)
risolto alla fine con
\(\displaystyle \frac{1}{10x} + \frac{-x+6}{10(x^2-6x+10)} \)
da cui ne ho ricavato i due integrali divisi e proceduto col risultato scritto sopra.
Ancora grazie per l'aiuto!
"Utente920":
Sbattendoci un pò la testa ho risolto (per quanto concerne l'indefinito) con
$ \int \frac{(2x-6)ln(x)}{x^2-6x+10} = - \frac{\ln(x)}{x^2-6x+10} +\frac{1}{10}ln(x)-\frac{1}{20} ln(x-3)^2 \frac{3}{10}\arctan(x+3) + C $
Sperando di non essermi perso nulla per strada ed eventuali segni.
Sì, qualcosa te lo sei perso per strada, nell'ordine:
- il $\text{d}x $ nell'integrale;
- l'argomento del terzo $ln$ che è $(x - 3)^2 + 1 $: essendo una somma di quadrati il valore assoluto non serve;
- il segno davanti al coefficiente dell'arcotangente;
- l'argomento dell'arcotangente, che è $(x - 3)$, non $(x + 3)$
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