Integrale definito con e di Nepero

[maggie20001]

Salve, vi propongo un integrale definito che non credo sia di difficile soluzione, ma dato che appunto non dispongo della soluzione, vorrei verificare se quella che ho trovato è corretta.

L'integrale in questione è:

$ int_(0)^(log3) e^{x} / (e^{2x} -2e^{x}) $


Le soluzioni che l'esercizio mi propone sono:

1) log 3
2)-log $ sqrt(3) $
3)4log9
4)log 1/3
5)nessuna delle altre

La fregatura è che essendoci nessuna delle altre potrebbe anche risultare tutt'altro.

Il mio risultato è stato -log $ sqrt(3) $
Ho utilizzato la sostituzione, ponendo $e^x$=t
Quindi x=log t dx= 1/t dt
Quindi ho risolto:
$ int_(0)^(log3) t/ (t^2-2t)*1/t dt=
$ int_(0)^(log3) 1/(t^2-2t)dt $

Utilizzando il metodo degli integrali di funzioni fratte:
$ int_()^() (-1 / 2) /t + (1/2)/(t-2) dt= $
$= -1/2*int_()^() 1/t dt+ 1/2*int_()^() 1/(t-2) dt= $
$= -1/2* log|t|+ 1/2 *log|t-2|= $
$ =-1/2 *log|e^x|+1/2*log|e^x-2| $
ritornando all'integrale definito:
$-1/2*log|e^log3|+1/2*log|e^(log3)-2|-(-1/2*log|e^0|+1/2*log|e^(o)-2|)=$
$-1/2*log3+1/2*log|3-2|+1/2*log1-1/2*log|1-2|=$
$-1/2*log3=-log3^(1/2)=-logsqrt3$

Corretto?!
Grazie a chi mi risponderà

[And_And92]

se i calcoli sono giusti, il ragionamento è corretto

[Sk_Anonymous]

Meno pesante se cambiavi gli estremi di integrazione. In ogni modo corretto.

[Lorin1]

Si ho rifatto i calcoli anche per conto mio e mi trovo!