Integrale definito che non riesco a capire

[booster180]

ciao a tutti, come forse avrete gia capito ho delle grosse difficolta con i processi di sostituzione negli integrali definiti
vi propongo questo esercizio tratto da un parziale di analisi della mia universita( damanda a risposta multipla)
$\int_{-2}^{2} f(x^4)x^4 dx$= ?
a) $\int_{-16}^{16} f(t)t dt$
b)$\int_{0}^{16} 2f(t)/(t)^(1/4) dt$
c)$\int_{-16}^{16} f(t)/t dt$
d)$\int_{0}^{16} (f(t)t^(1/4))/2 dt$

ora io ho pensato sostituzione semplice:
$x^4=t$ da cui $x=t^(1/4)$
$dx= d t^(1/4)$=$1/(4t^(3/4))$

andando a creare il nuovo integrale in funzione di t pero non riesco ad avere una forma uguale a nessuna delle soluzioni

quancuno puo aiutarmi?

[Palliit]

Ciao. Prima di fare la sostituzione $x^4=t$ considera che la funzione integranda $f(x^4)*x^4$ è pari, per cui hai: $\int_{-2}^{2} f(x^4)x^4 dx=2*\int_{0}^{2} f(x^4)x^4 dx$ .

[booster180]

ok ma poi mi ritrovo un integrale del tipo
$2\int_{0}^{?} (f(t)t)/(4t^(3/4)) dt$
non sono in grado di calcolare come variano gli estremi di integrazione (apparte quello inferiore che rimane 0)
e da li non so piu andare avanti, non vorrei aver sbagliato la derivata però

[Palliit]

$t(x)=x^4$__$Rightarrow$__$t(0)=0$__$wedge$__$t(2)=16$ .

[booster180]

ok ora mi risulta:
$2\int_{0}^{16} (f(t)t)/(4t^(3/4)) dt$
quindi $\int_{0}^{16} (f(t)t)/(2t^(3/4)) dt$
però ancora non ci siamo non capisco come renderlo nella forma indicata dalle risposte nel testo

[Palliit]

A che potenza di $t$ corrisponde: $t/(t^(3/4))$ ?

[booster180]

grandissimo
grazie mille
spero di essere cosi tonto solo perche ieri ho fatto le ore piccole
anche se dubito sia solo per quello