Integrale definito

[wolf2]

Non sono sicuro di aver eseguito correttamente il seguente integrale:

$\int_{0}^{1} log(2+t^2) dt$

Ho inizialmente visto l'integrale così

$\int_{0}^{1} 1 * log(2+t^2) dt$

e applicato l'integrazione per parti, ottenendo

$[tlog(2+t^2) - \int (2t^2)/(2+t^2) dt]_{0}^{1}$

Ora, nell'integrale risultante, ho portato fuori il $2$ del numeratore e raccolto il $t^2$ al denominatore, ottenendo l'integrale immediato dell'arcotangente

$[tlog(2+t^2) - 2arctg(sqrt(2)/t)]_{0}^{1}$

Qualcuno può confermarmi che sia tutto corretto fino a qui?

Grazie!

[previ91]

Io ho seguito i tuoi passaggi e mi ci ritrovo!

Qualcuno più esperto magari potrà darti altre idee , ma anche io avrei fatto così

[gugo82]

Beh, no.
Da:
\[
\int \frac{t^2}{2+t^2}\ \text{d} t
\]
non può mai venir fuori solamente un arcotangente.

[Palliit]

Ciao. Mi pare che sia:

[tex]2\int \frac{t^2}{2+t^2}dt=2\int \frac{2+t^2-2}{2+t^2}dt=2\int \left ( 1-\frac{2}{2+t^2} \right )dt=...[/tex]

[jitter1]

Ciao wolf, forse il tuo errore sta nel fatto che considerando $ 1 / (1 + (sqrt(2)/t)^2)= $ hai dimenticato che $t$ è al denominatore nell'argomento dell'arctg. Quindi, se volessi derivare $arctg(sqrt(2)/t)$, per la derivazione della composta, verrebbe fuori anche ....

[wolf2]

Grazie a tutti per le risposte

"Palliit":Ciao. Mi pare che sia:

[tex]2\int \frac{t^2}{2+t^2}dt=2\int \frac{2+t^2-2}{2+t^2}dt=2\int \left ( 1-\frac{2}{2+t^2} \right )dt=...[/tex]

Risolto grazie a questa dritta