Integrale definito
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per il seguente esercizio.
Calcolare l'integrale $int_{0}^{1} (cos sqrt(x))^2dx$ con errore inferiore a $10^-1$.
Lo sviluppo in serie di McLaurin di cosx è $cosx=sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(2n)$.
Quindi
$cos sqrt(x)=sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n)$
e
$(cos sqrt(x))^2=(sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n))(sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n))$
A questo punto però non so più come andare avanti...
volevo chiedervi una mano per il seguente esercizio.
Calcolare l'integrale $int_{0}^{1} (cos sqrt(x))^2dx$ con errore inferiore a $10^-1$.
Lo sviluppo in serie di McLaurin di cosx è $cosx=sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(2n)$.
Quindi
$cos sqrt(x)=sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n)$
e
$(cos sqrt(x))^2=(sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n))(sum_{n=0}^{+oo}((-1)^n)/((2n)!)x^(n))$
A questo punto però non so più come andare avanti...
Risposte
l'esercizio è di semplice risoluzione con il teorema fondamentale dell'algebra. Infatti innanzitutto ricavi la primitiva che è $\sqrt{x}\sin(\sqrt{x})\cos(\sqrt{x})-0.5\sin(\sqrt{x})^2+0.5x$
Applicando il teorema calcoli F(1)-F(0) dove F è la primitiva e ottieni 0.25cos2+0.5sin2+0.25 che risulta circa 0,6006120042
Applicando il teorema calcoli F(1)-F(0) dove F è la primitiva e ottieni 0.25cos2+0.5sin2+0.25 che risulta circa 0,6006120042
Scusami ma non ho capito. Comunque penso di dover utilizzare gli sviluppi in serie perché ho alcuni esercizi svolti dal mio prof., abbastanza simili a questo, in cui ragiona come stavo facendo io.
"FedeCapo":
teorema fondamentale dell'algebra
Vuoi dire il "teorema fondamentale del calcolo", non dell'algebra. Quello è un'altra cosa.
Comunque l'esercizio non è inteso per essere risolto così. Nelle intenzioni di chi lo ha esteso è da risolvere per approssimazione, usando qualche formulazione per il resto della formula di Taylor. Io proverei ad usare il resto secondo Lagrange.
Chiedo scusa Ero sovrappensiero ho confuso algebra con calcolo integrale... Ma perché usare metodi complessi quando ne esistono di più semplici? Riguardo ad una soluzione per serie ammetto di non avere la più pallida idea
"FedeCapo":
Ma perché usare metodi complessi quando ne esistono di più semplici?
Perché in realtà il metodo complesso è quello segnalato da te. Calcolare una primitiva in generale è un bel casino, anzi spesso non è proprio possibile. Per questo si fanno esercizi come il presente, in modo da capire come fare ad approssimare un integrale anche se non lo si può calcolare esplicitamente, o se farlo è laborioso.
Del resto nella pratica una approssimazione si deve sempre fare. Se tu calcoli un integrale e ti viene fuori, diciamo, \(\pi\), e questo numero rappresenta ad esempio una lunghezza in centimetri, farai comunque una approssimazione e dirai che la lunghezza è (per dire) \(3.14\) centimetri. Quindi hai buttato via delle informazioni: allora, a questo punto, potevi calcolare direttamente l'integrale con approssimazione e buonanotte.
Comunque fino a dove sono arrivato io è giusto? Se si come posso moltiplicare le due serie?
Puoi fare il prodotto secondo Cauchy:
http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_di_Cauchy
Ma non so quanto ti convenga. Tieni presente che a te serviranno giusto uno o due termini dello sviluppo in serie, uniti alla formula del resto secondo Lagrange. Calcola direttamente le derivate in \(0\) della funzione integranda e fai prima.
http://it.wikipedia.org/wiki/Prodotto_di_Cauchy
Ma non so quanto ti convenga. Tieni presente che a te serviranno giusto uno o due termini dello sviluppo in serie, uniti alla formula del resto secondo Lagrange. Calcola direttamente le derivate in \(0\) della funzione integranda e fai prima.
Perfetto. Grazie mille 
Ieri il mio prof. ha messo sul suo sito web lo svolgimento dell'esercizio dato. Era un po' diverso da come lo stavo facendo io. In pratica svolge l'integrale e arriva a
$int_{0}^{1} (cossqrt(x))^2dx=1/2+1/2sum_{n=0}^{+oo}(-1)^n/((2n)!)4^n/(n+1)$
Ciò che non capisco è come posso fare a trovarne un'approssimazione con errore inferiore a $10^-1$
Dato l'errore dovuto all'approssimazione della serie a destra dell'equazione precedente con una sua somma parziale:
$0<|sum_{n=0}^{+oo}(-1)^n/((2n)!)4^n/(n+1)-sum_{k=0}^{p}(-1)^k/((2k)!)4^k/(k+1)|$
Se si dimostra che $1/((2n)!)4^n/(n+1) rarr 0$ decrescendo allora è possibile applicare il Teorema di Leibniz. Ma è davvero così? Se si come posso fare a dimostrarlo?
$int_{0}^{1} (cossqrt(x))^2dx=1/2+1/2sum_{n=0}^{+oo}(-1)^n/((2n)!)4^n/(n+1)$
Ciò che non capisco è come posso fare a trovarne un'approssimazione con errore inferiore a $10^-1$
Dato l'errore dovuto all'approssimazione della serie a destra dell'equazione precedente con una sua somma parziale:
$0<|sum_{n=0}^{+oo}(-1)^n/((2n)!)4^n/(n+1)-sum_{k=0}^{p}(-1)^k/((2k)!)4^k/(k+1)|$
Se si dimostra che $1/((2n)!)4^n/(n+1) rarr 0$ decrescendo allora è possibile applicare il Teorema di Leibniz. Ma è davvero così? Se si come posso fare a dimostrarlo?
Mi sembra un po' troppo complicato, ti dico la verità. Comunque
post368167.html#p368167
(ce ne ho messo di tempo per ritrovare questo post!!! per riferimenti futuri lascio tre keywords " dimostrare monotonia successione " ).
fatti di questo tipo si dimostrano "a mano", seguendo magari lo schema spiegato da Gugo qui:
Se si dimostra che $1/((2n)!)4^n/(n+1) rarr 0$ decrescendo allora è possibile applicare il Teorema di Leibniz. Ma è davvero così? Se si come posso fare a dimostrarlo?
post368167.html#p368167
(ce ne ho messo di tempo per ritrovare questo post!!! per riferimenti futuri lascio tre keywords " dimostrare monotonia successione " ).
Grazie 
Ho provato ad applicare il metodo descritto nel post http://www.matematicamente.it/forum/post368167.html#p368167. Spero di averlo fatto in maniera corretta.
Supponendo che valga
$4^n/((2n)!(n+1))>(4^(n+1))/((2n+2)!(n+2))$
allora
$4^n/((2n)!(n+1))>(4*4^n)/((2n+2)(2n+1)(2n)!(n+2)) rArr1/(n+1)>4/((2n+2)(2n+1)(n+2)) rArr$
$rArr (2n+2)(2n+1)(n+2)>4(n+1)$
La successione a sinistra è infinita di ordine superiore di quella a destra. Quindi da un certo $nu$ in poi la disuguaglianza è verificata.
Giusto?
Supponendo che valga
$4^n/((2n)!(n+1))>(4^(n+1))/((2n+2)!(n+2))$
allora
$4^n/((2n)!(n+1))>(4*4^n)/((2n+2)(2n+1)(2n)!(n+2)) rArr1/(n+1)>4/((2n+2)(2n+1)(n+2)) rArr$
$rArr (2n+2)(2n+1)(n+2)>4(n+1)$
La successione a sinistra è infinita di ordine superiore di quella a destra. Quindi da un certo $nu$ in poi la disuguaglianza è verificata.
Giusto?
Si è giusto. Secondo me la disuguaglianza è verificata per ogni \(n\), tra l'altro, ma ci possiamo accontentare del "da un certo \(\nu\) in poi".
Perfetto. Grazie.
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