Integrale definito

[angelo.digiacomantonio]

Ciao a tutti,
mi trovo di fronte ad un integrale definito del tipo:

$\int_{0}^{ln2} (e^x)/(sqrt(2-e^x)) dx$

Mi sono letteralmente bloccato perchè questa radice mi da un grosso fastidio...l'unica cosa che mi viene in mente è fare questo passaggio ma poi non riesco ad andare avanti $\int_{0}^{ln2} (e^x)*1/(sqrt(2-e^x)) dx$; potreste darmi una mano a sbloccarmi da questa situazione?

Grazie a tutti anticipatamente

[salvozungri]

E' un integrale improprio di seconda specie, in particolare, l'estremo di integrazione $\ln 2$ crea problemi alla funzione integranda. In tal caso devi prendere in esame:

$\lim_{k\to \ln(2)^-}\int_0^{k} \frac{e^x}{\sqrt{2-e^x}}dx$

Per risolvere l'integrale, prova per sostituzione ponendo $t=2-e^x$.

[angelo.digiacomantonio]

Ok, inanzitutto risolvo l'integrale...pongo $t=2-e^x$ e quindi $dt=-e^xdx$, cioè $dx=d-dt/e^x$
a questo punto ho l'integrale $\int_{}^{} (e^x)/(sqrt(t))*-dt/e^x$, giusto?

[salvozungri]

Nì, nel senso che semplificando $e^x$ otterresti effettivamente la funzione integranda che cercavamo, ma il metodo che hai proposto non mi piace molto "stilisticamente parlando". Ciò dipende da come ti hanno insegnato il metodo di sostituzione, però.

[angelo.digiacomantonio]

Beh..non me l'ha insegnato nessuno..l ho studiato da solo perchè mi è servito per l'università ..stilisticamente parlando come avresti proposto la tua soluzione?

[salvozungri]

$t=2-e^x\implies dt=-e^x dx$

Pertanto:
$\int e^x/(\sqrt{2-e^x})dx= -\int (-e^x dx)/(\sqrt{2-e^x})= -\int dt/\sqrt{t}=-\int t^{-1/2}dt$

A questo punto dovresti procedere tranquillamente.

[angelo.digiacomantonio]

come hai fatto a mettere il $-$ davanti all'integrale?

EDIT:

scusa ho capito ...la soluzione dell'integrale mi viene $2(2-e^x)^(1/2)-e^x+c$...cosa ne pensi?