Integrale definito
Salve a tutti,volevo sapere come procedere con il seguente integrale:
[tex]\displaystyle\int_{0}^{1} {\sqrt{1-x} \over \sqrt{1+x} \,} dx[/tex] io ho eseguito la sostituzione [tex]x=cost[/tex] ottenendo il seguente integrale: [tex]\displaystyle\int_{0}^{p /2} {\sqrt{1-cost} \over \sqrt{1+cost} \,}sint dx[/tex] solo che dopo non so più come procedere... Ps Come diavolo si inserisce il pi greco con il Tex? xD
[tex]\displaystyle\int_{0}^{1} {\sqrt{1-x} \over \sqrt{1+x} \,} dx[/tex] io ho eseguito la sostituzione [tex]x=cost[/tex] ottenendo il seguente integrale: [tex]\displaystyle\int_{0}^{p /2} {\sqrt{1-cost} \over \sqrt{1+cost} \,}sint dx[/tex] solo che dopo non so più come procedere... Ps Come diavolo si inserisce il pi greco con il Tex? xD
Risposte
La sostituzione non mi pare sia quella giusta.
Prova con [tex]$t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$[/tex].
P.S.: In Tex \$\pi\$ produce [tex]$\pi$[/tex].
Ah, anche per inserire seno e coseno conviene mettere uno slash: confronta [tex]$cos t,\ sin t$[/tex] con [tex]$\cos t,\ \sin t$[/tex] (le seconde sono ottenute coi comandi \$\cos t\$ e \$\sin t\$).
Prova con [tex]$t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$[/tex].
P.S.: In Tex \$\pi\$ produce [tex]$\pi$[/tex].
Ah, anche per inserire seno e coseno conviene mettere uno slash: confronta [tex]$cos t,\ sin t$[/tex] con [tex]$\cos t,\ \sin t$[/tex] (le seconde sono ottenute coi comandi \$\cos t\$ e \$\sin t\$).
Beh la sua non è detto che sia così male. Infatti, dal momento che:
[tex]\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}[/tex] (1)
[tex]\cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/tex]
si ha:
[tex]\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}[/tex]
ed inoltre:
[tex]\sin x =2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}[/tex]
Quindi
[tex]\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\sin x=\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos x[/tex]
dove l'ultimo passaggio deriva dalla (1). Questo si poteva vedere anche tramite i seguenti passaggi:
[tex]\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\sin x=\sqrt{\frac{(1-\cos x)^2}{1-\cos^2 x}}\sin x=(1-\cos x)\frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}=1-\cos x[/tex]
P.S. [tex]\text{d}x=-\sin t\text{d}t[/tex]
[tex]\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}[/tex] (1)
[tex]\cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/tex]
si ha:
[tex]\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}[/tex]
ed inoltre:
[tex]\sin x =2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}[/tex]
Quindi
[tex]\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\sin x=\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos x[/tex]
dove l'ultimo passaggio deriva dalla (1). Questo si poteva vedere anche tramite i seguenti passaggi:
[tex]\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\sin x=\sqrt{\frac{(1-\cos x)^2}{1-\cos^2 x}}\sin x=(1-\cos x)\frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}=1-\cos x[/tex]
P.S. [tex]\text{d}x=-\sin t\text{d}t[/tex]
"K.Lomax":
Beh la sua non è detto che sia così male. Infatti, dal momento che:
[tex]\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}[/tex] (1)
[tex]\cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}[/tex]
si ha:
[tex]\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}[/tex]
ed inoltre:
[tex]\sin x =2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}[/tex]
Quindi
[tex]\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\sin x=\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos x[/tex]
dove l'ultimo passaggio deriva dalla (1). Questo si poteva vedere anche tramite i seguenti passaggi:
[tex]\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\sin x=\sqrt{\frac{(1-\cos x)^2}{1-\cos^2 x}}\sin x=(1-\cos x)\frac{\sin x}{\sqrt{1-\cos^2 x}}=1-\cos x[/tex]
P.S. [tex]\text{d}x=-\sin t\text{d}t[/tex]
Grazie Lomax
Riguardo [tex]\text{d}x=-\sin t\text{d}t[/tex] ho tolto il meno perchè andando a sostituire mi trovo gli estremi invertiti...
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