Integrale definito

[markAcid]

Salve a tutti,

Volevo chiedervi se fosse giusto questo ragionamento.
In un esame di Analisi 2 è stato dato questo esercizio:
$ int_(0)^(2pi) 1/(cos^2x+4sin^2 x)dx $

ho risolto in questo modo:
1) Usando $ cos^2x=1-sin^2x $ ottengo
$ int_(0)^(2pi) 1/(1+3sin^2x)dx $

2)moltiplico e divido per $ csc^2x $
$ -int_(0)^(2pi) -(csc^2x)/(csc^2+3)dx $

3) Essendo $ csc^2=1+ctg^2 $ ho
$ -int_(0)^(2pi)-csc^2/(ctg^2+4) $

4) Effettuo la sostituzione $ u=ctg x $ con $ du=-csc^2x $
$ int 1/(u^2+4) du $

qui sorge il problema con gli estremi.
Essendo cotg invertibile solo tra 0 e pi posso dire che
$ int_(0)^(2pi)= int_(0)^(pi)+ int_(pi)^(2pi)= 2int_(0)^(pi) $
e quindi che ho
$ 2int_(oo )^(-oo )= $
E' sbagliato?

Facendo in tal modo ottengo $ 4(1/2 arctg(2u)) $ da valutare tra 0 e infinito

Grazie in anticipo per le risposte

[pilloeffe]

Ciao Marck0,

Mi pare tu ti sia complicato un po' la vita...
L'integrale proposto è il seguente:

$ \int_0^{2\pi} 1/(cos^2x+4sin^2 x)\text{d}x $

Generalizziamo un po' calcolandoci l'integrale indefinito seguente:

$ \int 1/(a^2 cos^2x+ b^2 sin^2 x)\text{d}x $

Ovviamente quello in esame è il caso particolare $a = 1 $ e $ b = 2 $.
Si ha:

$ \int 1/(a^2 cos^2x+ b^2 sin^2 x)\text{d}x = \int 1/(a^2 cos^2x[1 + (b/a)^2 tan^2 x])\text{d}x = $
$ = 1/(ab) \int 1/(1 + (b/a)^2 tan^2 x)\text{d}(b/a tan x) = 1/(ab) arctan(b/a tan x) + c $

Ne caso particolare $a = 1 $ e $ b = 2 $ si ha:

$ \int 1/(cos^2x+ 4 sin^2 x)\text{d}x = 1/2 arctan(2 tan x) + c $

Quindi in definitiva si ha:

$ \int_0^{2\pi} 1/(cos^2x + 4 sin^2 x)\text{d}x = 4 \int_0^{\pi/2} 1/(cos^2x + 4 sin^2 x)\text{d}x = 2 [arctan(2 tan x)]_0^{\pi/2} = \pi $

[markAcid]

In effetti mi sono complicato la vita. Ti ringrazio molto per avermi suggerito questo procedimento.

[gugo82]

Tipico procedimento da WolframAlpha...

[pilloeffe]

"gugo82":Tipico procedimento da WolframAlpha...

Concordo. Andrebbe proibito a chi non abbia acquisito un minimo di competenza di Analisi matematica:
altrimenti fa più danni che altro...