Integrale definito

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Come si può risolvere questo integrale?

$\int_{0}^{1} 1/(x^2sqrt(1-x^2)) dx$

Ho provato per parti scegliendo
$f'(x)=x^2 \rightarrow f(x)=x^3/3$
$g(x)= sqrt(1-x^2) \rightarrow g'(x)= 2x/2 sqrt(1-x^2)$

ma non arrivo alla risultato corretto. ho provato anche per sostituzione (primo teorema).
Il risultato dovrebbe essere (senza calcolarlo in 0 e 1) =
$- sqrt(1-x^2)/x$

grazie

[Bokonon]

Hai provato con una sostituzione trigonometrica?
Per esempio $x=sin(theta)$? Quindi $cos(theta)=sqrt(1-x^2)$ e $dx=cos(theta)d(theta)$
L'integrale diventa $int 1/sin^2(theta)d(theta)$

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mm.. no non la saprei fare

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forse potrei cercare di farmi spuntare l'integrale notevole
$\int (f'(x))/(sin^2f(x)) dx =-ctgf(x)$

[Bokonon]

"Smon97"::?: mm.. no non la saprei fare

Dovresti saperlo a memoria.
$int 1/cos^2(theta)=tan(theta)+C$ mentre $int 1/sin^2(theta)=-cot(theta)+C$
Ma se non l'hai mai risolto prima, fallo.

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Grazie. E' la prima volta che mi ritrovo un esercizio di questo tipo.

[pilloeffe]

Ciao Smon97,

Comunque l'integrale indefinito associato a quello proposto si può risolvere anche per parti, ma non come hai fatto tu che è errato, bensì nel modo seguente:

$ f'(x) = x^{-2} \implies f(x) = - 1/x $

$g(x) = 1/sqrt{1 - x^2} \implies g'(x) = x/(1 - x^2)^{3/2} $

Perciò si ha:

$ \int 1/(x^2sqrt(1-x^2)) \text{d}x = - 1/(x sqrt{1 - x^2}) + \int 1/(1 - x^2)^{3/2} \text{d}x = - 1/(x sqrt{1 - x^2}) + x/(sqrt{1 - x^2}) + c = $
$ = (- 1 + x^2)/(x sqrt{1 - x^2}) + c = - (1 - x^2)/(x sqrt{1 - x^2}) + c = - sqrt{1 - x^2}/x + c $

Si segnala poi che l'integrale improprio proposto $ \int_{0}^{1} 1/(x^2sqrt(1-x^2)) \text{d}x $ non converge.

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Grazie di tutto.