Integrale Definito
Se ho il seguente differenziale:
$i(t) = (dq)/(dt)= C(dv)/(dt)=(1)/(S)(dv)/(dt)$
Come faccio ad integrare tra $0$ e $t$ ed arrivare poi alla seguente:
$v(t) = v(0) + 1/C int_0^t i(t')dt'$
$i(t) = (dq)/(dt)= C(dv)/(dt)=(1)/(S)(dv)/(dt)$
Come faccio ad integrare tra $0$ e $t$ ed arrivare poi alla seguente:
$v(t) = v(0) + 1/C int_0^t i(t')dt'$
Risposte
$i=C(dv)/(dt)$
$dv=1/Cidt$
$intdv=1/Cintidt$
$dv=1/Cidt$
$intdv=1/Cintidt$
Ok, fino a questo punto ho compreso, ma come fa a continuare?
Come fa ad arrivare a questo
$v(t) = v(0) + 1/C int_0^t i(t')dt'$
Come fa ad arrivare a questo
$v(t) = v(0) + 1/C int_0^t i(t')dt'$
Semplicemente integri da $0$ a $t$ ambo i membri:
$int_(0)^(t)dv=1/Cint_(0)^(t)idt$
Dal teorema fondamentale del calcolo si ha che $int_(0)^(t)dv=v(t)-v(0)$ e quindi si perviene a quel risultato.
$int_(0)^(t)dv=1/Cint_(0)^(t)idt$
Dal teorema fondamentale del calcolo si ha che $int_(0)^(t)dv=v(t)-v(0)$ e quindi si perviene a quel risultato.
"Vulplasir":
Semplicemente integri da $0$ a $t$ ambo i membri:
$int_(0)^(t)dv=1/Cint_(0)^(t)idt$
Dal teorema fondamentale del calcolo si ha che $int_(0)^(t)dv=v(t)-v(0)$ e quindi si perviene a quel risultato.
Scusami, ma ancora non ti sto capendo e forse è perchè sei poco chiaro!
Lo so che la formula per un integrale definito è la seguente $int_(0)^(t)dv=v(t)-v(0)$, ma il testo scrive in modo differente e questo mi fa confondere!
Come fa ad arrivare a scrivere in questo modo $v(t) = v(0) + 1/C int_0^t i(t')dt'$
E perchè mette quei trattini che sembrano apostrofi $(t')dt'$
Perchè è convenzione che la variabile della funzione integranda sia diversa dalla variabile della funzione integrale. Quindi se integri $i(t)dt$ tra $0$ e $t$ allora devi cambiare la variabile della funzione integranda, quindi invece di t scrivi una qualsiasi altra cosa che sia diversa da t, che può essere per esempio $t'$, quindi si ha $int_(0)^(t)i(t')dt'$
Quindi integri prima a modalita' risolutiva di Integrale Indefinito, poi a seguire si risolve con modalita' di integrale Definito, vero
Ed in effetti si puo' pensare in primis a risolvero in questo modo:
$i=C(dv)/(dt)$
$dv=1/Cidt$
$intdv=1/Cintidt$
E poi ovviamente si puo' risolvere con gli estremi di integrazione, ottenendo questo:
$v(t) = v(0) + 1/C int_0^t i(t')dt'$
Con un piccolo accorgimento, che la formula risolutiva piu' corretta e'
$v(t) = 1/C int_0^t i(t')dt' - v(0) $
Potete per favore darmi conferma?
Ed in effetti si puo' pensare in primis a risolvero in questo modo:
$i=C(dv)/(dt)$
$dv=1/Cidt$
$intdv=1/Cintidt$
E poi ovviamente si puo' risolvere con gli estremi di integrazione, ottenendo questo:
$v(t) = v(0) + 1/C int_0^t i(t')dt'$
Con un piccolo accorgimento, che la formula risolutiva piu' corretta e'
$v(t) = 1/C int_0^t i(t')dt' - v(0) $
Potete per favore darmi conferma?
A parte il fatto che un problema come quello proposto si chiama equazione differenziale ordinaria (EDO, per gli amici) del primo ordine e non "differenziale" (che è una cosa totalmente diversa), essa si può risolvere direttamente passando alla funzione integrale.
Invero, la EDO:
\[
i(t) = C\cdot v^\prime (t)
\]
che si può riscrivere come:
\[
v^\prime (t) =\frac{1}{C}\cdot i(t)
\]
ti dice che le due funzioni (che, come d'uso in Fisica, si assumono continue nell'intervallo temporale che interessa) coincidono in tutto un intervallo (che, come d'uso in Fisica, si assume con estremo inferiore $0$). Da ciò segue che le loro funzioni integrali di punto iniziale $0$ coincidono nell'intervallo d'interesse, cioè che:
\[
\int_0^t v^\prime (\tau)\ \text{d}\tau = \frac{1}{C}\cdot \int_0^t i(\tau)\ \text{d} \tau\; .
\]
La formula d'integrazione definita per sostituzione ti assicura che il primo integrale si calcola con la sostituzione $\theta = v(\tau)$, di modo che ottieni:
\[
\int_0^t v^\prime (\tau)\ \text{d}\tau \stackrel{\theta = v(\tau)}{=} \int_{v(0)}^{v(t)} \text{d} \theta = v(t) - v(0)\; ,
\]
e, sostituendo nell'uguaglianza precedente, hai infine:
\[
v(t) - v(0) = \frac{1}{C}\cdot \int_0^t i(\tau)\ \text{d}\tau
\]
che è la tua soluzione (a patto di portare la costante $v(0)$ al secondo membro).
Un'ultima nota sulla variabile d'integrazione.
Come dovrebbe essere noto dal corso di Analisi I (o Calcolo, o comunque si chiami dalle tue parti), la variabile d'integrazione in un integrale definito è muta, nel senso che essa può essere chiamata col nome che più pare sensato senza in alcun modo cambiare il valore dell'integrale (dipendendo tale valore solo dalla funzione integranda e dagli estremi d'integrazione).
Quindi \(t^\prime\), \(\tau\), \(\theta\), \(Pippo\), \(Pluto\) e \(Topolino\) sono tutti nomi leciti per una variabile d'integrazione definita.
Invero, la EDO:
\[
i(t) = C\cdot v^\prime (t)
\]
che si può riscrivere come:
\[
v^\prime (t) =\frac{1}{C}\cdot i(t)
\]
ti dice che le due funzioni (che, come d'uso in Fisica, si assumono continue nell'intervallo temporale che interessa) coincidono in tutto un intervallo (che, come d'uso in Fisica, si assume con estremo inferiore $0$). Da ciò segue che le loro funzioni integrali di punto iniziale $0$ coincidono nell'intervallo d'interesse, cioè che:
\[
\int_0^t v^\prime (\tau)\ \text{d}\tau = \frac{1}{C}\cdot \int_0^t i(\tau)\ \text{d} \tau\; .
\]
La formula d'integrazione definita per sostituzione ti assicura che il primo integrale si calcola con la sostituzione $\theta = v(\tau)$, di modo che ottieni:
\[
\int_0^t v^\prime (\tau)\ \text{d}\tau \stackrel{\theta = v(\tau)}{=} \int_{v(0)}^{v(t)} \text{d} \theta = v(t) - v(0)\; ,
\]
e, sostituendo nell'uguaglianza precedente, hai infine:
\[
v(t) - v(0) = \frac{1}{C}\cdot \int_0^t i(\tau)\ \text{d}\tau
\]
che è la tua soluzione (a patto di portare la costante $v(0)$ al secondo membro).
Un'ultima nota sulla variabile d'integrazione.
Come dovrebbe essere noto dal corso di Analisi I (o Calcolo, o comunque si chiami dalle tue parti), la variabile d'integrazione in un integrale definito è muta, nel senso che essa può essere chiamata col nome che più pare sensato senza in alcun modo cambiare il valore dell'integrale (dipendendo tale valore solo dalla funzione integranda e dagli estremi d'integrazione).
Quindi \(t^\prime\), \(\tau\), \(\theta\), \(Pippo\), \(Pluto\) e \(Topolino\) sono tutti nomi leciti per una variabile d'integrazione definita.
Devo ringraziare vivamente gugo82, sei stato chiarissimo!
Grazie mille!
Grazie mille!
Prego, figurati.
Tanto per curiosità: è un problema di Calcolo oppure qualche contariello di Fisica?
Tanto per curiosità: è un problema di Calcolo oppure qualche contariello di Fisica?
"gugo82":
Prego, figurati.
Tanto per curiosità: è un problema di Calcolo oppure qualche contariello di Fisica?
Si tratta di Elettrotecnica, quella EDO la puoi vedere nella terza figura e quindi la terza immagine del seguente spoiler:
Date le conoscenze di analisi di base, non poteva che trattarsi di ingegneria.
Cioe'?
Penso si riferisca al fatto che il programma di Analisi di Ingegneria è comunque un programma ristretto, se consideri che si fanno Analisi I,II in un anno e divise in 6CFU circa a testa. In Matematica solitamente si fa:
Analisi I da 12CFU al primo anno
Analisi II(insieme ad Analisi complessa) da 12CFU al secondo anno
Analisi III al terzo anno, però non so dirti di preciso quanti CFU. Da me, a Palermo, si danno 6CFU.
Senza considerare che si danno gli stessi CFU di: Geometria I,II,III che comunque aiuta nell'analisi.
Analisi I da 12CFU al primo anno
Analisi II(insieme ad Analisi complessa) da 12CFU al secondo anno
Analisi III al terzo anno, però non so dirti di preciso quanti CFU. Da me, a Palermo, si danno 6CFU.
Senza considerare che si danno gli stessi CFU di: Geometria I,II,III che comunque aiuta nell'analisi.
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