Integrale Definito

[Fr4nc1x]

Salve ragazzi, ho svolto il seguente integrale definito, e vorrei avere un riscontro con voi.
L'integrale è
$ int_(-1)^((1/2)) |x|arcsin(1-x^2)dx $
Innanzitutto ho studiato il valore assoluto e ho diviso l'integrale in due integrali
$ int_(-1)^(0) -xarcsin(1-x^2)dx + int_(0)^(1/2) xarcsin(1-x^2)dx $
Poi ho calcolato gli integrali indefiniti. Ho usato la sostituzione per entrambi gli integrali ponendo $ t= 1-x^2 $ (alla fine sono quasi identici, bisogna solo stare attenti ai segni)
e quindi alla fine mi sono ritrovato
$ [- (1-x^2)/2 arcsin(1-x^2)-(1/8)ln|x|] da (-1) a( 0) $
e $[(1-x^2)/2 arcsin(1-x^2)+(1/8)ln|x|] da (0) a (1/2) $
Alla fine il risultato è
$ -(3/8)arcsin(3/4) + (1/8)ln(1/2) $
E non sono tanto convinto di questo risultato, sembra un pò troppo complicato.. Vi ringrazio anticipatamente

[Gi81]

Non mi torna la soluzione dell'integrale indefinito. se non ho capito male ti è venuto:
$int x arcsin(1-x^2) dx = -1/2[ (1-x^2) arcsin(1-x^2) +1/4 ln|x|]+c$

invece a me viene:
$int x arcsin(1-x^2) dx = -1/2[ (1-x^2) arcsin(1-x^2) +sqrt(x^2*(2-x^2))]+c$

[Fr4nc1x]

Ho trovato un errore, quindi mi sa che hai ragione tu.
Io per risolvere l'integrale indefinito prima applico la sostituzione $ t=1-x^2 $
e quindi mi ritrovo
$ -1/2int_()^() arcsin(t) dt $
A questo punto proverei ad integrarlo per parti, tu come sei arrivato a quel risultato?

[Gi81]

Sì, certo, conviene fare per parti.
$int arcsin(t) dt = t arcsin(t) - int t/sqrt(1-t^2) dt= t arcsin(t) +sqrt(1-t^2)+c$

[Fr4nc1x]

OK perfetto, quindi poi facilmente si svolgono i calcoli e si arriva alla soluzione, grazie!