Integrale definito.

[daniele90013]

salve a tutti sono alle prese con la teoria delle distribuzioni e mi è sorto il seguente dubbio :
Quanto viene l'integrale di :
\[
P(n)=\frac{1}{2\pi}\ \int_{-n}^n e^{ipx}\ \text{d} p\; ?
\]

Il mio libro pone :
[1/2pi_greco(tra n e -n) e^(ipx)dp]= sin(xn)/pi_greco*n, e poi dice : che per x=0 può essere estesa per continuità a P(0)=n/pi_greco.

[gugo82]

Per \(n=0\) l'integrale è nullo ovunque, i.e. \(P_0(x)=0\).
Per \(n\neq 0\), l'integrale si calcola come un normale integrale di un esponenziale reale. Insomma:
\[
P_n(x) = \frac{1}{2\pi}\ \left. \frac{1}{\imath\ x}\ e^{\imath\ xp}\right|_{p=-n}^{p=n} = \frac{1}{\pi\ x}\ \frac{e^{\imath\ nx} - e^{-\imath\ nx}}{2\ \imath} = \frac{\sin nx}{\pi\ x}\; ,
\]
in cui c'è evidente bisogno di richiedere \(x\neq 0\). D'altro canto se \(x=0\), un conto esplicito mostra che:
\[
P_n(0) = \frac{1}{2\pi}\ \int_{-n}^n 1\ \text{d} p = \frac{n}{\pi}\; .
\]
A questo punto non è difficile notare che la funzione \(P_n(x)\) è continua pure in \(0\): infatti:
\[
\lim_{x\to 0} P_n(x) = \lim_{x\to 0} \frac{\sin nx}{\pi\ x} = \frac{n}{\pi}\ \lim_{x\to 0} \frac{\sin nx}{nx} = \frac{n}{\pi} = P_n(0)\; .
\]