Integrale definito
Ragazzi qualcuno mi aiuta a risolvere questo integrale?
$ int_(0)^(Pi /2) (sinx-cos)/(sinx+cos^2x) dx $
Tramite le formule parametriche e bisezione l'ho portato ad un rapporto di polinomi. E poi non riesco piu' ad andare avanti...help
$ int_(0)^(1) (t^2+2t+1)/(t^4+2t^3-2t^2+2t+1) dx $
Grazie Gilda
$ int_(0)^(Pi /2) (sinx-cos)/(sinx+cos^2x) dx $
Tramite le formule parametriche e bisezione l'ho portato ad un rapporto di polinomi. E poi non riesco piu' ad andare avanti...help
$ int_(0)^(1) (t^2+2t+1)/(t^4+2t^3-2t^2+2t+1) dx $
Grazie Gilda
Risposte
perchè dici che è un integrale improprio? non vedo problemi né in 0 né in $\pi/2$
perchè $\sin(\pi/2)=1$ e $\cos^2(\pi/2)=0$, ma hai una somma quindi fa $1+0=1$
poi in $0$.. hai $\sin(0)=0$ ma hai $\cos^2(0)=1$, ma hai sempre una somma $0+1=1$
non vedo dove sia il problema..
forse l'unico problema che potresti avere è in $\pi$, ma neanche perchè $\cos(\pi)=1$, ma non ti interessa neanche $\pi$ perchè tu hai l'intervallo da $0$ a $\pi/2$
Non capisco perchè lo chiami integrale improprio.. Ma cosa devi fare con quest'integrale?
perchè $\sin(\pi/2)=1$ e $\cos^2(\pi/2)=0$, ma hai una somma quindi fa $1+0=1$
poi in $0$.. hai $\sin(0)=0$ ma hai $\cos^2(0)=1$, ma hai sempre una somma $0+1=1$
non vedo dove sia il problema..
forse l'unico problema che potresti avere è in $\pi$, ma neanche perchè $\cos(\pi)=1$, ma non ti interessa neanche $\pi$ perchè tu hai l'intervallo da $0$ a $\pi/2$
Non capisco perchè lo chiami integrale improprio.. Ma cosa devi fare con quest'integrale?
Hai ragione. Poiché stavo risolvendo un integrale improprio in un altro esercizio ho fatto confusione. Si tratta di un integrale definito e dovrei risolverlo.
Grazie. Gilda
Grazie. Gilda
Premetto che non l'ho ancora calcolato l'integrale (non ho anche trovato la primitiva). Mi sono accorto che nel tuo sviluppo con le formule parametriche ci sono due errori (ho rifatto due volte i calcoli per sicurezza):
[*:13iso479]Al numeratore si ottiene $t^2 + 2t - 1$ e non $t^2 + 2t + 1$;[/*:m:13iso479]
[*:13iso479]L'integrale in $t$ avrà $dt$ come incremento infinitesimo e non $dx$
.[/*:m:13iso479][/list:u:13iso479]Nemmeno io però con quanto ottenuto utilizzando così le formule parametriche ne sono venuto fuori. Sto provando altre strade: aggiungere/togliere delle quantità a numeratore o denominatore oppure usare in maniera diversa le formule parametriche (se riesco a risolvere ti dirò come).
Potrebbe anche esistere un'altra strada, forse meno pesante dal punto di vista dei calcoli. L'integrale può essere infatti scomposto come segue:
$\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos^2 x}dx - \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos^2 x}dx = \int \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos^2 x} + \cos^2 x}dx - \int \frac{\cos x}{\sin x + 1 - \sin^2 x}dx$. Se nel primo integrale effettuiamo la sostituzione $\cos x = t$ abbiamo che $-\sin x dx = dt$. Nel secondo possiamo invece porre $\sin x = u$ (cambio il nome della variabile semplicemente per non confonderlo con $t$) ed abbiamo così che $\cos x dx = du$. Il secondo integrale diventa semplice da risolvere, il primo invece può risultare più problematico per la presenza della radice...
Può funzionare?
$\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos^2 x}dx - \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos^2 x}dx = \int \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \cos^2 x} + \cos^2 x}dx - \int \frac{\cos x}{\sin x + 1 - \sin^2 x}dx$. Se nel primo integrale effettuiamo la sostituzione $\cos x = t$ abbiamo che $-\sin x dx = dt$. Nel secondo possiamo invece porre $\sin x = u$ (cambio il nome della variabile semplicemente per non confonderlo con $t$) ed abbiamo così che $\cos x dx = du$. Il secondo integrale diventa semplice da risolvere, il primo invece può risultare più problematico per la presenza della radice...
Può funzionare?
Mi viene il dubbio sul fatto che l'utente che ha proposto il calcolo di questo integrale lo abbia trovato su un libro di scuola...
Ogni modo ho provato, col metodo da me proposto, a "trattare" il primo integrale che deriva dalla scomposizione. La forma più decente e trattabile la ottengo provando a calcolare la primitiva tramite le formule parametriche. Anche nel mio caso si ha la scomposizione del polinomio di quarto grado da te citata (solo che al numeratore ho $4t$ nel caso mio) e dunque ci sono in realtà tre mega addendi anche qui (guarda caso). Altri tipi di sostituzioni (senza quindi ricorrere alle formule parametriche) non lasciano scampo a quella maledetta $\sqrt{1 - t^2}$ che ricompare come una maledizione e rende arduo il calcolo dell'integrale.
Ogni modo ho provato, col metodo da me proposto, a "trattare" il primo integrale che deriva dalla scomposizione. La forma più decente e trattabile la ottengo provando a calcolare la primitiva tramite le formule parametriche. Anche nel mio caso si ha la scomposizione del polinomio di quarto grado da te citata (solo che al numeratore ho $4t$ nel caso mio) e dunque ci sono in realtà tre mega addendi anche qui (guarda caso). Altri tipi di sostituzioni (senza quindi ricorrere alle formule parametriche) non lasciano scampo a quella maledetta $\sqrt{1 - t^2}$ che ricompare come una maledizione e rende arduo il calcolo dell'integrale.
Tem anche se in ritardo grazie per l'aiuto.
Mi metto subito al lavoro per vedere se mi trovo.
Grazie 10^3
Gilda
Mi metto subito al lavoro per vedere se mi trovo.
Grazie 10^3
Gilda
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