Integrale definito

[Sirio1988]

Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per il seguente integrale definito:

$int_0^x sqrt(x^2-1)dx$, $x>=1$

Dovrebbe essere risolvibile per sostituzione, ma non ho capito quale sostituzione effettuare.

[Sk_Anonymous]

Sì, prova con \(x=\cosh t\). Infatti vale l'identità \((\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1 \) da cui si ha \((\sinh t)^2=(\cosh t)^2 - 1 \)...

[Kashaman]

Oppure potresti provare con una sostituzione ti tipo $t-x = \sqrt(x^2-1)$

[Gi81]

Ma come fa l'integrale ad andare da $0$ a $x$? Io direi da $1$ a $x$.
E poi, non ha molto senso chiamare la variabile di integrazione come uno dei due estremi.
In sintesi, direi che l'esercizio va scritto così:

Sia $x >=1$. Calcolare \(\displaystyle \int_{1}^{x} \sqrt{t^2 -1}\ \text{d}t\)

[Sirio1988]

"Gi8":Ma come fa l'integrale ad andare da $0$ a $x$? Io direi da $1$ a $x$.
E poi, non ha molto senso chiamare la variabile di integrazione come uno dei due estremi.
In sintesi, direi che l'esercizio va scritto così:

Sia $x >=1$. Calcolare \(\displaystyle \int_{1}^{x} \sqrt{t^2 -1}\ \text{d}t\)

Hai perfettamente ragione. L'ho scritto di fretta e ho commesso alcuni errori. Volevo scrivere la variabile di integrazione come $x'$ e al momento di farlo l'ho dimenticato.

[Sk_Anonymous]

@Gi8: ho visto quell'abuso di notazione utilizzato anche da professori (di fisica, però).

[Sirio1988]

"Delirium":Sì, prova con \(x=\cosh t\). Infatti vale l'identità \((\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1 \) da cui si ha \((\sinh t)^2=(\cosh t)^2 - 1 \)...

Purtroppo questo integrale lo sto usando per la dimostrazione dell'equazione $cosh x=(e^x+e^(-x))/2$, quindi penso di dover evitare l'uso delle funzioni iperboliche.

"Kashaman":Oppure potresti provare con una sostituzione ti tipo $ t-x = \sqrt(x^2-1) $

Mi potresti spiegare come applicare questa sostituzione?

[Gi81]

"Delirium":@Gi8: ho visto quell'abuso di notazione utilizzato anche da professori (di fisica, però).

Non è che sia proprio sbagliato. Ci può stare che in determinati contesti si usi la stessa lettera. Quando si ha abbastanza dimestichezza ci si può passare sopra.
Però quando si è all'inizio (come in questo caso) è meglio non fare confusione

[Kashaman]

"Sirio1988":[quote="Delirium"]Sì, prova con \(x=\cosh t\). Infatti vale l'identità \((\cosh t)^2 - (\sinh t)^2 = 1 \) da cui si ha \((\sinh t)^2=(\cosh t)^2 - 1 \)...

Purtroppo questo integrale lo sto usando per la dimostrazione dell'equazione $cosh x=(e^x+e^(-x))/2$, quindi penso di dover evitare l'uso delle funzioni iperboliche.

"Kashaman":Oppure potresti provare con una sostituzione ti tipo $ t-x = \sqrt(x^2-1) $

Mi potresti spiegare come applicare questa sostituzione?[/quote]
Allora , poniamo $f(t)= \int_1^x\sqrt(x^2-1)$ con $x>=1$
Determiniamo l'insieme delle primitive di $g(x)=\sqrt(x^2-1)$.
Poniamo $t-x=\sqrt(x^2-1) => (t-x)^2=x^2-1 <=> t^2-2tx+x^2=x^2-1 => x= (t^2+1)/(2t)$
dunque $dx = ((2t*2t)-(t^2+1)*2)/(4t^2) dt = (t^2-1)/(2t^2) dt$
Dunque
$\int g(x) dx = \int (t-x) dx = \int (t - (t^2+1)/(2t))*(t^2-1)/(2t^2) dt =....$ da qui in poi penso tu sappia continuare.

[Sirio1988]

$int (1/4 t-1/(2t)+1/(4t^3 ))dt=1/8t^2-lnt-1/(8t^2)+c=$
$=1/8(x'+sqrt(x'^2-1))-ln(x'+sqrt(x'^2-1))-1/(8(x'+sqrt(x'^2-1))^2)+c$

Quindi:

$int_1^x sqrt(x'^2-1)dx'=1/8(x+sqrt(x^2-1))-ln(x+sqrt(x'^2-1))-1/(8(x+sqrt(x^2-1))^2)$

corretto?