Integrale definito
$ int_(-1)^(1)6pi |x| cos(pi x) dx $ che risultato vi esce ? A me 0, ho fatto bene?
Risposte
una funzione pari se integrata su un dominio simmetrico... senza dubbio non da $0$
Cosa sbaglio?
$ 6pi intxcos(pix)= 6xsen(pix)+6/picos(pix) $
Da integrare da -1 a 1 =
$ = (6sen(pi)+6/picospi)-(-6sen(-pi)+6/picos(-pi))= -6/pi+6/pi= 0 $
$ 6pi intxcos(pix)= 6xsen(pix)+6/picos(pix) $
Da integrare da -1 a 1 =
$ = (6sen(pi)+6/picospi)-(-6sen(-pi)+6/picos(-pi))= -6/pi+6/pi= 0 $
l'integrale da te calcolato è corretto.
ma è questo:
$\int_{-1}^{1} 6\pi x cos(\pi x) dx$
e non questo
$\int_{-1}^{1} 6\pi |x| cos(\pi x) dx$
la differenza consistente è che nel primo caso l'integranda è dispari ed il suo integrale su un dominio simmetrico è giustamente nullo.
nel secondo caso -quello che ti è richiesto dall'esercizio- l'integranda è pari... è proprio un'altra funzione se vogliamo essere pignoli
ma è questo:
$\int_{-1}^{1} 6\pi x cos(\pi x) dx$
e non questo
$\int_{-1}^{1} 6\pi |x| cos(\pi x) dx$
la differenza consistente è che nel primo caso l'integranda è dispari ed il suo integrale su un dominio simmetrico è giustamente nullo.
nel secondo caso -quello che ti è richiesto dall'esercizio- l'integranda è pari... è proprio un'altra funzione se vogliamo essere pignoli
Potresti indicarmi il punto in cui tutto cambia? Grazie
quando $x>0 => |x| = x$
quando $x<0 => |x| = -x$
quindi:
$\int_{-1}^{1} 6\pi |x| cos(\pi x) dx = \int_0^{1} 6\pi x cos(\pi x) + \int_{-1}^0 -6\pi x cos(\pi x)$
però cerchiamo di farci furbi:
utilizziamo il punto di vista che vede gli integrali come l'area sottesa dalla funzione integranda.
siamo d'accordo che l'area che sottende una funzione $f(x)$ pari su un intervallo simmetrico, è uguale a $2$ volte l'area sottesa dalla stessa solo in metà intervallo?
per fare un esempio: la funzione $|x|$ è pari. se ti chiedo l'area che sottende nell'intervallo $-1
ora avviciniamoci al tuo esercizio: vediamo l'integrale come un'area $A$
$\int_{-a}^{a} f(x) dx = A_{f(x)} ([-a, a])$
la scrittura a destra, del tutto inventata dal sottoscritto, sta per "l'integrale a sinistra è l'area sottesa dalla funzione $f(x)$ nell'intervallo $[-a,a]$".
prima ho cercato di spiegarti che puoi scrivere:
$A_{f(x)} ([-a, a]) = 2 A_{f(x)} ([0, a]) = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$
mettendo insieme le due cose:
$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$
caveat: tutto questo ha senso SOLO se la funzione è PARI e l'integrale è su un intervallo SIMMETRICO rispetto allo $0$.
nel tuo caso $f(x) = ...$ e 4 $a = ...$
vedi se riesci a procedere ora.
quando $x<0 => |x| = -x$
quindi:
$\int_{-1}^{1} 6\pi |x| cos(\pi x) dx = \int_0^{1} 6\pi x cos(\pi x) + \int_{-1}^0 -6\pi x cos(\pi x)$
però cerchiamo di farci furbi:
utilizziamo il punto di vista che vede gli integrali come l'area sottesa dalla funzione integranda.
siamo d'accordo che l'area che sottende una funzione $f(x)$ pari su un intervallo simmetrico, è uguale a $2$ volte l'area sottesa dalla stessa solo in metà intervallo?
per fare un esempio: la funzione $|x|$ è pari. se ti chiedo l'area che sottende nell'intervallo $-1
ora avviciniamoci al tuo esercizio: vediamo l'integrale come un'area $A$
$\int_{-a}^{a} f(x) dx = A_{f(x)} ([-a, a])$
la scrittura a destra, del tutto inventata dal sottoscritto, sta per "l'integrale a sinistra è l'area sottesa dalla funzione $f(x)$ nell'intervallo $[-a,a]$".
prima ho cercato di spiegarti che puoi scrivere:
$A_{f(x)} ([-a, a]) = 2 A_{f(x)} ([0, a]) = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$
mettendo insieme le due cose:
$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$
caveat: tutto questo ha senso SOLO se la funzione è PARI e l'integrale è su un intervallo SIMMETRICO rispetto allo $0$.
nel tuo caso $f(x) = ...$ e 4 $a = ...$
vedi se riesci a procedere ora.
Già che ci siamo, posso chiederti un' altra mia curiosità ?!
Nel caso avessimo da integrare una funzione dispari come seno, in un intervallo [-a,a], il risultato sarebbe sempre 0? Non c'è bisogno neanche che io provi a fare i calcoli?
Grazie
Nel caso avessimo da integrare una funzione dispari come seno, in un intervallo [-a,a], il risultato sarebbe sempre 0? Non c'è bisogno neanche che io provi a fare i calcoli?
Grazie
si, è quanto ho detto velatamente nei messaggi prima.
ora i matematici, ma anche i miei colleghi, storcerebbero parecchio il naso ma... se integri una funzione dispari su un intervallo simmetrico, la somma delle due aree si annulla. perchè... in un certo senso... una delle due aree è negativa.
ovviamente "area negativa" non ha senso, etc etc... ma credo torni utile ricordarsi questa cosa per sapere come agire in questi casi.
ora i matematici, ma anche i miei colleghi, storcerebbero parecchio il naso ma... se integri una funzione dispari su un intervallo simmetrico, la somma delle due aree si annulla. perchè... in un certo senso... una delle due aree è negativa.
ovviamente "area negativa" non ha senso, etc etc... ma credo torni utile ricordarsi questa cosa per sapere come agire in questi casi.
P.s. Nell'esercizio precedente la parte con x negativa e' uguale a 0 mentre la parte con la x positiva e' uguale a -12/pi?
Scusa ancora per il disturbo e grazie !
Scusa ancora per il disturbo e grazie !
Oppure, come mi hai detto alla fine, prendo solo la parte da 0 ad a e dopo che l'ho integrata la moltiplico per due?
ok... direi che non mi sono spiegato bene. però non ho voglia di reinventarmi un'altra spiegazione, perciò la faccio breve:
l'integrale nell'intervallo delle $x$ negative è uguale all'integrale nell'intervallo delle $x$ positive. quindi tanto vale calcolarsi solo quest'ultimo e moltiplicarlo per due
questo quindi significa anche che non può venirti $0$ l'integrale per le $x$ negative e ottenere per l'altro un valore diverso da $0$...
sono uguali => stesso valore (cioè stesso risultato).
e non può comunque venire $0$ l'integrale totale perchè, oltre ad essere pari, la tua integranda non è mai neanche negativa in quell'intervallo...
l'integrale nell'intervallo delle $x$ negative è uguale all'integrale nell'intervallo delle $x$ positive. quindi tanto vale calcolarsi solo quest'ultimo e moltiplicarlo per due
questo quindi significa anche che non può venirti $0$ l'integrale per le $x$ negative e ottenere per l'altro un valore diverso da $0$...
sono uguali => stesso valore (cioè stesso risultato).
e non può comunque venire $0$ l'integrale totale perchè, oltre ad essere pari, la tua integranda non è mai neanche negativa in quell'intervallo...
Ok, e' stato un mio errore di calcolo, ti sei spiegato benissimo, sei stato molto chiaro!
Grazie mille
Grazie mille
suona di presa in giro considerato che il mio ultimo messaggio aveva un errore che mostrava male il testo XD
chiedi tranquillamente se ancora non ti torna qualcosa. non volevo essere antipatico. scusa
chiedi tranquillamente se ancora non ti torna qualcosa. non volevo essere antipatico. scusa
Assolutamente no, dico veramente!
Approfitto per chiedere un alto mio dubbio:
Come si fa l'integrale dell'arcotangente e precisamente questo?
$ int x^2 arctan (6x) $
Approfitto per chiedere un alto mio dubbio:
Come si fa l'integrale dell'arcotangente e precisamente questo?
$ int x^2 arctan (6x) $
vuoi solo la primitiva? è cioè un integrale indefinito?
proverei per parti
proverei per parti
No, in realtà sarebbe da integrare anch'esso tra -1 e 1
ok... la funzione integranda è pari o dispari? 
dai giulia!!! su che so che hai magnato la foglia >.<
dai giulia!!! su che so che hai magnato la foglia >.<
Che foglia?!
è un modo di dire...
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