Integrale definito

[Navarone89]

Dire se il seguente integrale è convergente ed in caso positivo calcolarlo.

$\int_(1/2)^1 xln(x/(1-x)) dx$

Ho dimostrato facilmente che è convergente, ma come faccio a calcolarlo?

[Noisemaker]

"Navarone89":Dire se il seguente integrale è convergente ed in caso positivo calcolarlo.

$\int_(1/2)^1 xln(x/(1-x)) dx$

Ho dimostrato facilmente che è convergente, ma come faccio a calcolarlo?

Per parti:

$\int_(1/2)^1 xln(x/(1-x)) dx=\frac{1}{2}[x^2\ln(\frac{x}{1-x})]_(1/2)^1-\frac{1}{2}\int_(1/2)^1 \frac{x}{1-x}dx$

[Navarone89]

Si, lo avevo calcolato tutto, se non ho fatto errori dovrebbe essere uguale a :

$1/2(x^2ln(x/(1-x))+ln(1-x)+x)+c$

La mia domanda è : come faccio a calcolarlo tra $1/2$ ed $1$, non posso sostituire il valore uno nel risultato per calcolarne il valore dell' integrale, o sbaglio?

[Noisemaker]

"Navarone89":Si, lo avevo calcolato tutto, se non ho fatto errori dovrebbe essere uguale a :

$1/2(x^2ln(x/(1-x))+ln(1-x)+x)+c$

La mia domanda è : come faccio a calcolarlo tra $1/2$ ed $1$, non posso sostituire il valore uno nel risultato per calcolarne il valore dell' integrale, o sbaglio?

infatti non puoi e quindi calcoli il limite

[Navarone89]

Continuo a non capire =(..
Dovrei calcolare il limite per x che tende ad uno del risultato e poi sottrarre a quello $F(1/2)$?

[Noisemaker]

"Navarone89":Continuo a non capire =(..
Dovrei calcolare il limite per x che tende ad uno del risultato e poi sottrarre a quello $F(1/2)$?

devi applicare la definizione di integrale improprio.

\begin{align*}
&\frac{1}{2}\left[x^2\ln\left(\frac{x}{1-x}\right)+\ln(1-x)+x\right]_{\frac{1}{2}}^{1}\Rightarrow\\
& \frac{1}{2}\lim_{k\to 1^-} \,\,\left[k^2\ln\left(\frac{k}{1-k}\right)+ \ln(1-k)+k\right]-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{4}\ln\left(\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right)+\ln\left(1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\right] \\
& =\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\ln 2\right)\\
\end{align*}

essendo

\begin{align*}
\lim_{k\to 1^-} \,\,\left[k^2\ln\left(\frac{k}{1-k}\right)+ \ln(1-k)+k\right]=1
\end{align*}