Integrale: dalla distribuzione congiunta alla marginale

[dasalv12]

So che dovrei postare il quesito nella sezione statistica, ma in questo caso si tratta solo dello svolgimento analitico di un integrale.

Siano (x,y) determinazioni indipendenti di una variabile casuale continua (X,Y) con funzione di densità:

$ f(x,y;\theta,\lambda) = 1/(\lambda sqrt(2\pix^2)) exp {-((y-\thetax)^2)/(2x^2)-x/\lambda } $
$ x in RR + $
$ y in RR $
$ \lambda in RR + $ Parametro ignoto
$ \theta in RR $ Parametro ignoto

Dovrei ricavare la distribuzione marginale di X e la distribuzione condizionata Y|X=x.
La marginale si trova come segue.
$ fX(x) = \int f(x, y)dy $

Come svolgere questo integrale trattando i parametri ignoti? Avete qualche suggerimento? Grazie!

[dissonance]

Con la sostituzione $\tilde{y}=\frac{y-\theta x}{\sqrt{2}x}$ il tuo integrale dovrebbe ridursi essenzialmente a $\int_{-\infty}^\infty e^{-\tilde{y}^2}\ d\tilde{y}.$

[dasalv12]

Grazie per la risposta.
Ho un dubbio: risolvendo l'integrale dovrebbe risultare una funzione che dipende solo da X, mentre con questa sostituzione mi risulterà una funzione che dipende ancora sia da Y che da X.

[dissonance]

Questo non succede. Credo tu commetta un errore nella formula del cambiamento di variabile $dy=(\ldots)d\tilde{y}$.