Integrale da seconda prova

[alle.fabbri]

Ciao ragazzi,
se doveste risolvere
$\int_0^{+\infty} {dx}/{\sqrt{1+x^2}}$
senza usare nessun metodo "avanzato" (residui etc) e senza nemmeno usare l'ovvio cambio di variabile con le funzioni iperboliche, come fareste?
Grazie a tutti..

[dissonance]

Eh ma quello non converge.

[alle.fabbri]

Si scusa....volevo dire una primitiva...

[pater46]

Allora perchè hai messo gli estremi di integrazione?

Comunque quello è un'integrale notevole... $F(x) = settsinhx$ ( funzione settore seno iperbolico )

[Mathcrazy]

Probabilmente vuoi una risoluzione dell'integrale senza gli estremi.
Senza seni iperbolici (scelta più rapida), puoi comunque ragionare diversamente:

[tex]$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx[/tex]

Facciamo una sostituzione e poniamo:

[tex]$\sqrt{1+x^2} = t - x[/tex] (*)

Ricavo la [tex]$x$[/tex] , elevando, dapprima, entrambi i membri al quadrato.

[tex]$1 + x^2 = t^2 + x^2 -2xt$[/tex]

[tex]$2xt = t^2-1$[/tex]

[tex]$x= \frac{t^2-1}{2t}$[/tex] (**)

Sostituisco nella (*)

[tex]$\sqrt{1+x^2} = t - \frac{t^2-1}{2t}= \frac{t^2+1}{2t} $[/tex]

Ora ricavo il [tex]$dx[/tex], derivano la (**)

[tex]$dx = \frac{t^2+1}{2t^2} dt$[/tex]

Dopo tutte queste premesse, sostituisco, nell'integrale iniziale [tex]$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx[/tex] che diventa:

[tex]$\int \frac{1}{\frac{t^2+1}{2t}} \cdot \frac{t^2+1}{2t^2}dt =[/tex]

[tex]$\int \frac{2t}{t^2+1} \cdot \frac{t^2+1}{2t^2}dt =[/tex]

[tex]$\int \frac{1}{t}dt = ln t + C[/tex]

Poiche, avevamo posto [tex]$\sqrt{1+x^2} = t - x \Rightarrow t = \sqrt{1+x^2} + x[/tex]

E quindi il risultato dell'integrale è:

[tex]$ln ( \sqrt{1+x^2} + x ) + C$[/tex]

[alle.fabbri]

Grazie mille!!!!