Integrale da risolvere per sostituzione
Ciao ragazzi devo risolvere questo integrale per sostituzione e mi trovo in difficoltà sul termine da sostituire.
$\int log(1+2x)dx$
$\int log(1+2x)dx$
Risposte
$t=ln(2x+1)$
la morte sua comunque è per parti
la morte sua comunque è per parti
Si si certo ma in questo caso ho l'obbligo di farlo per sostituzione..
Quindi sostituisco l'intera funzione? Ottengo poi $dt=1/(2x+1)dx$ e come vado ad inserirlo nell'integrale? Grazie
Quindi sostituisco l'intera funzione? Ottengo poi $dt=1/(2x+1)dx$ e come vado ad inserirlo nell'integrale? Grazie
Ciao smule98,
Personalmente porrei $t := 2x + 1 $, sicché risulta:
$ \int log(1+2x)\text{d}x = 1/2 \int log t \text{d}t $
L'ultimo integrale scritto è uno dei primi che si insegnano nell'integrazione per parti, per cui non dovresti avere problemi a risolverlo...
Occhio che nella sostituzione che ti è stata consigliata hai sbagliato a scrivere $\text{d}t $...
Personalmente porrei $t := 2x + 1 $, sicché risulta:
$ \int log(1+2x)\text{d}x = 1/2 \int log t \text{d}t $
L'ultimo integrale scritto è uno dei primi che si insegnano nell'integrazione per parti, per cui non dovresti avere problemi a risolverlo...
Occhio che nella sostituzione che ti è stata consigliata hai sbagliato a scrivere $\text{d}t $...
"pilloeffe":
Ciao smule98,
Personalmente porrei $t := 2x + 1 $, sicché risulta:
$ \int log(1+2x)\text{d}x = 1/2 \int log t \text{d}t $
L'ultimo integrale scritto è uno dei primi che si insegnano nell'integrazione per parti, per cui non dovresti avere problemi a risolverlo...
Grazie mille
"pilloeffe":
Occhio che nella sostituzione che ti è stata consigliata hai sbagliato a scrivere $\text{d}t $...
Hai ragione troppa fretta
Ti chiedo velocemente un'altra cosa su un altro esempio
$\int_{0}^{5}x^3sqrt(1+x^4)dx$
$y=1+x^4$
$dy=3x^3dx$
$1/3\int_{1}^{626}sqrt(y)dy$
$=1/3[2/3y^(3/2)]_{1}^{626}$
Ho pensato di fare questa sostituzione ma il risultato non mi convince molto... (non ho la soluzione)
$\int_{0}^{5}x^3sqrt(1+x^4)dx$
$y=1+x^4$
$dy=3x^3dx$
$1/3\int_{1}^{626}sqrt(y)dy$
$=1/3[2/3y^(3/2)]_{1}^{626}$
Ho pensato di fare questa sostituzione ma il risultato non mi convince molto... (non ho la soluzione)
La sostituzione e gli estremi di integrazione sono corretti, tuttavia è sbagliato il $\text{d}y$: hai che $\text{d}y=4x^3 \text{d}x$.
(Certo che esercizio perverso con questi estremi di integrazione, didatticamente indifferente da integrare in $[0,1]$).
(Certo che esercizio perverso con questi estremi di integrazione, didatticamente indifferente da integrare in $[0,1]$).
Non so se sei obbligato anche in questo caso a risolverlo per sostituzione, ma questo secondo integrale proposto è facilmente riconducibile all'integrale immediato del tipo seguente:
$\int [f(x)]^a f'(x) \text{d}x = \frac{[f(x)]^{a + 1}}{a + 1} + c $
ove nel caso in esame $f(x) = x^4 + 1 $ e $a = 1/2 $
Si vede quasi subito che si ha:
$ \int x^3 sqrt(1+x^4)\text{d}x = 1/4 \int 4x^3 sqrt(1+x^4)\text{d}x = \frac{(1 + x^4)^{3/2}}{6} + c $
Lascio a te il semplice calcolo dell'integrale definito...
$\int [f(x)]^a f'(x) \text{d}x = \frac{[f(x)]^{a + 1}}{a + 1} + c $
ove nel caso in esame $f(x) = x^4 + 1 $ e $a = 1/2 $
Si vede quasi subito che si ha:
$ \int x^3 sqrt(1+x^4)\text{d}x = 1/4 \int 4x^3 sqrt(1+x^4)\text{d}x = \frac{(1 + x^4)^{3/2}}{6} + c $
Lascio a te il semplice calcolo dell'integrale definito...
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