Integrale da risolvere

[leena1]

La mia è una curiosità, quest'integrale mi serve per calcolare la varianza della t-student, ma non riesco a risolverlo,
$\int x^2(1+x^2/n)^(-(v+1)/n)dx$
qualcuno mi sa dare una mano?

[clrscr]

"leena":La mia è una curiosità, quest'integrale mi serve per calcolare la varianza della t-student, ma non riesco a risolverlo,
$\int x^2(1+x^2/n)^(-(v+1)/n)dx$
qualcuno mi sa dare una mano?

Io farei così..
Innanzitutto, per chiarezza, riscriverei l'integrale come:
$\int x* x*(1+x^2/n)^(-(v+1)/n)dx$ il che ,in qualche modo, mi spinge a risolverlo per parti...

A questo punto possiamo manipolare l'integranda nel seguente modo:
$n^2/(2*n(-v-1+n))*int x* x*2/n*((-v-1+n)/n)*(1+x^2/n)^(-(v+1)/n) dx$.
Ora si può notare che:

$(del (1+x^2/n)^(-(v+1)/n))/ (delx)=x*2/n*((-v-1+n)/n)*(1+x^2/n)^(-(v+1)/n)$.

Dopo aver integrato per parti si otterrà un altro integrale del tipo

$int (1+x^2/n)^(-(v+1)/n) dx$.

Questo integrale può essere risolto scomponendo l'integranda con il Bionomio di Newton e sommando tutti gli integrali risultanti...questo vale se $-(v+1)/n$ è un intero positivo. Altrimenti non mi vengono proprio altre idee...

[leena1]

Ecco io mi ero persa proprio alla fine, fino all'ultimo integrale ci ero arriva ma mi ero bloccata di nuovo perché non avevo proprio pensato al Binonio di Newton. Grazie mille. Gentilissimo