Integrale da esaurirmi
\(\displaystyle \int_{}^{} \frac{e^{x}}{1+e^{2x}} \)
non vedo assolutamente la formula per sostituzione \(\displaystyle \int_{}^{} f(g(x))g'(x)dx=\int_{}^{}fy dy \)
la formula la vedo così \(\displaystyle \int_{}^{} \frac{fx}{sx+f((gx))} \) dove fx è e^x sx è 1 e gx è 2x
tralasciando il fatto che sia un integrale immediato della arctang, non capisco proprio come applicare la formula. La formula di sostituzione non ha il denominatore invece l'integrale che ho postato è frazionario.
al minuto 6 https://www.youtube.com/watch?v=x1rXDKi0RF0 c'è l'esercizio svolto ma io sono cieca e non vedo comunque la formula di sostituzione.
dove sbaglio?
non vedo assolutamente la formula per sostituzione \(\displaystyle \int_{}^{} f(g(x))g'(x)dx=\int_{}^{}fy dy \)
la formula la vedo così \(\displaystyle \int_{}^{} \frac{fx}{sx+f((gx))} \) dove fx è e^x sx è 1 e gx è 2x
tralasciando il fatto che sia un integrale immediato della arctang, non capisco proprio come applicare la formula. La formula di sostituzione non ha il denominatore invece l'integrale che ho postato è frazionario.
al minuto 6 https://www.youtube.com/watch?v=x1rXDKi0RF0 c'è l'esercizio svolto ma io sono cieca e non vedo comunque la formula di sostituzione.
dove sbaglio?
Risposte
$int [e^x]/[1+e^(2x)] dx$
Ponendo $t= e^x$ si ha $dt= e^x dx$ e $t^2 = (e^x)^2= e^(2x)$
Abbiamo pertanto $int (1)/(1+t^2) dt$
Ponendo $t= e^x$ si ha $dt= e^x dx$ e $t^2 = (e^x)^2= e^(2x)$
Abbiamo pertanto $int (1)/(1+t^2) dt$
"Gi8":
$int [e^x]/[1+e^(2x)] dx$
Ponendo $t= e^x$ si ha $dt= e^x dx$, ottenendo $int (dt)/(1+t^2)$
questo l'ho capito, il problema è che non vedo proprio la formula di sostituzione.
La sostituzione è $t=e^x$
"Gi8":
La sostituzione è $t=e^x$
La formula di sostituzione non ha il denominatore invece l'integrale che ho postato è frazionario, è qui che mi blocco.
Quel che mi chiedo è con quale criterio applico la formula se l'integrale a cui la devo applicare ha una forma diversa.
se
$t=e^x$
allora
$t^2=(e^x)^2=e^(2x)$
all'università c'era un prof che metteva dei fiorellini al posto delle lettere abituali e diceva ad esempio
la derivata del fiorellino al quadrato è duefiorellinodefiorellino
se $e^(2x)$ è uguale al fiorellino al quadrato, quando incontri $e^(2x)$ puoi scrivere fiorellino al quadrato, che sia al numeratore o al denominatore, isn't it?
$t=e^x$
allora
$t^2=(e^x)^2=e^(2x)$
all'università c'era un prof che metteva dei fiorellini al posto delle lettere abituali e diceva ad esempio
la derivata del fiorellino al quadrato è duefiorellinodefiorellino
se $e^(2x)$ è uguale al fiorellino al quadrato, quando incontri $e^(2x)$ puoi scrivere fiorellino al quadrato, che sia al numeratore o al denominatore, isn't it?
Credo che stranamentemate abbia un modo un po' diverso dal nostro per risolvere gli integrali col metodo di sostituzione.
Vediamo se così posso essere più chiaro:
Se poni $g(x)= e^x$ e $f(x)= 1/(1+x^2)$, nota che $f(g(x))* g'(x)= 1/(1+e^(2x)) * e^x$, dunque
$int (e^x)/(1+e^(2x)) dx = int f(g(x))*g'(x) dx= int f(y) dy= int 1/(1+y^2) dy= arctan(y) +c= arctan(e^x) +c$
Vediamo se così posso essere più chiaro:
Se poni $g(x)= e^x$ e $f(x)= 1/(1+x^2)$, nota che $f(g(x))* g'(x)= 1/(1+e^(2x)) * e^x$, dunque
$int (e^x)/(1+e^(2x)) dx = int f(g(x))*g'(x) dx= int f(y) dy= int 1/(1+y^2) dy= arctan(y) +c= arctan(e^x) +c$
"Gi8":
Credo che stranamentemate abbia un modo un po' diverso dal nostro per risolvere gli integrali col metodo di sostituzione.
Vediamo se così posso essere più chiaro:
Se poni $g(x)= e^x$ e $f(x)= 1/(1+x^2)$, nota che $f(g(x))* g'(x)= 1/(1+e^(2x)) * e^x$, dunque
$int (e^x)/(1+e^(2x)) dx = int f(g(x))*g'(x) dx= int f(y) dy= int 1/(1+y^2) dy= arctan(y) +c= arctan(e^x) +c$
ora mi è chiaro, hai spiegato perfettamente... ora mi metto sotto tutto il giorno a fare integrali, mi sei stato di enorme aiuto, grazie
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